Задания для подготовки к сдаче академической задолженности. Геометрия 8 класс 3 четверть • Теория: Определение и признаки подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. Определение и свойство средней линии треугольника. Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. • Задачи: 1. Человек ростом 1, 5 м стоит на расстоянии 4 м от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 3 м. Чему равна высота столба? 2. В треугольнике АВС стороны равны 10 см, 8 см и 12 см. На сторонах стоят точки К, М, и Р, которые являются серединами сторон треугольника АВС. Чему равен периметр треугольника КМР? 3. В треугольнике АВС К и М - середины сторон АВ и ВС. Площадь треугольника АВС равна 20 кв.см. Чему равна площадь треугольника КВМ? 4. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5см и 4 см. Решите этот прямоугольный треугольник (найдите все его стороны и углы). 5. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 20 градусов, а гипотенуза равна 10 см. Решите прямоугольный треугольник.

Ответ: 3 четверть: Теория и задачи по геометрии для 8 класса

1. Задача 1:

   Пусть высота столба x метров. Используем подобие треугольников:

   • Маленький треугольник: высота - человек (1,5 м), основание - тень человека (3 м).
   • Большой треугольник: высота - столб (x м), основание - расстояние от столба до конца тени (4 м + 3 м = 7 м).

   Составляем пропорцию: \[\frac{1.5}{3} = \frac{x}{7}\]

   Решаем пропорцию: \[x = \frac{1.5 \cdot 7}{3} = 3.5\]

   Высота столба равна 3,5 метра.

2. Задача 2:

   Точки K, M и P - середины сторон треугольника ABC. Значит, KMP - средняя линия. Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника.

   Периметр треугольника ABC: \[P_{ABC} = 10 + 8 + 12 = 30 \text{ см}\]

   Периметр треугольника KMP: \[P_{KMP} = \frac{1}{2} P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \text{ см}\]

3. Задача 3:

   K и M - середины сторон AB и BC соответственно. Значит, отрезок KM - средняя линия треугольника ABC. Треугольник KBM подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\).

   Площадь подобного треугольника относится к площади исходного как квадрат коэффициента подобия:

   \[\frac{S_{KBM}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

   Площадь треугольника KBM: \[S_{KBM} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5 \text{ кв. см}\]

4. Задача 4:

   В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 4 см. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

   \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4 \text{ см}\]

   Найдем углы:

   • Тангенс одного из углов: \[\tan(\alpha) = \frac{5}{4} = 1.25\] Отсюда \[\alpha = \arctan(1.25) \approx 51.3^\circ\]
   • Другой угол: \[\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 51.3^\circ = 38.7^\circ\]

5. Задача 5:

   В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 20 градусов, гипотенуза равна 10 см.

   • Второй острый угол: \[\beta = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\]
   • Катет, противолежащий углу 20 градусов: \[a = c \cdot \sin(20^\circ) = 10 \cdot \sin(20^\circ) \approx 10 \cdot 0.342 = 3.42 \text{ см}\]
   • Катет, прилежащий к углу 20 градусов: \[b = c \cdot \cos(20^\circ) = 10 \cdot \cos(20^\circ) \approx 10 \cdot 0.94 = 9.4 \text{ см}\]

Ответ: 3 четверть: Теория и задачи по геометрии для 8 класса