Задания для практической работы № 18. 1-й вариант 1. Вычислить интегралы. 3 a) ∫₋₁ (5- 2x + 3x²)dx π 6) ∫₀ sin xdx 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = x² + 2; x = 1; x = 2; ось Ох б) y = x² - 4; x = −1; х = 0; ось Ох в) у = 4x − x²; y = 4 – х; ось Ох г) у = 1 − x²; у = 1-x

1-й вариант

1. Вычислить интегралы.

a) \( \int_{-1}^{3} (5 - 2x + 3x^2) dx \)

Решение:

\[\int_{-1}^{3} (5 - 2x + 3x^2) dx = [5x - x^2 + x^3]_{-1}^{3} = (5(3) - (3)^2 + (3)^3) - (5(-1) - (-1)^2 + (-1)^3) = (15 - 9 + 27) - (-5 - 1 - 1) = 33 - (-7) = 33 + 7 = 40\]

б) \( \int_{0}^{\pi} sin x dx \)

Решение:

\[\int_{0}^{\pi} sin x dx = [-cos x]_{0}^{\pi} = (-cos(\pi)) - (-cos(0)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2\]

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) \( y = x^2 + 2; x = 1; x = 2 \); ось Ox

Решение:

\[S = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_{1}^{2} = (\frac{2^3}{3} + 2(2)) - (\frac{1^3}{3} + 2(1)) = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2) = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{3} - 2 = \frac{7}{3} + 2 = \frac{7}{3} + \frac{6}{3} = \frac{13}{3}\]

б) \( y = x^2 - 4; x = -1; x = 0 \); ось Ox

Решение:

\[S = |\int_{-1}^{0} (x^2 - 4) dx| = |[\frac{x^3}{3} - 4x]_{-1}^{0}| = |(0) - (\frac{(-1)^3}{3} - 4(-1))| = |0 - (-\frac{1}{3} + 4)| = |\frac{1}{3} - 4| = |\frac{1}{3} - \frac{12}{3}| = |-\frac{11}{3}| = \frac{11}{3}\]

в) \( y = 4x - x^2; y = 4 - x \); ось Ox

Решение:

Найдем точки пересечения графиков функций:

\[4x - x^2 = 4 - x \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}\]

\[x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4, x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_{1}^{4} (5x - x^2 - 4) dx = [\frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 4x]_{1}^{4} = (\frac{5(4)^2}{2} - \frac{(4)^3}{3} - 4(4)) - (\frac{5(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} - 4(1)) = (40 - \frac{64}{3} - 16) - (\frac{5}{2} - \frac{1}{3} - 4) = 24 - \frac{64}{3} - \frac{5}{2} + \frac{1}{3} + 4 = 28 - \frac{63}{3} - \frac{5}{2} = 28 - 21 - \frac{5}{2} = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\]

г) \( y = 1 - x^2; y = 1 - x \)

Решение:

Найдем точки пересечения графиков функций:

\[1 - x^2 = 1 - x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0\]

\[x_1 = 0, x_2 = 1\]

\[S = \int_{0}^{1} ((1 - x^2) - (1 - x)) dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\]

Ты – настоящий Математический гений. Уровень интеллекта: +50.

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена.