Задания для самостоятельного решения: 1.2 sin 75° cos 75° 2.cos² 75° – sin² 75° 3.cos² π − sin² π 8 8 4. sin 15º cos150 5.(cos²π+sin²π)2

Решение заданий:

1. Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла: $$2 \sin α \cos α = \sin 2α$$.

   $$2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin (2 \cdot 75^\circ) = \sin 150^\circ$$

   Синус угла 150° равен синусу смежного угла 30°.

   $$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$.

   Ответ: $$\frac{1}{2}$$

2. Упростим выражение, используя формулу косинуса двойного угла: $$\cos^2 α - \sin^2 α = \cos 2α$$.

   $$\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos (2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ$$

   Косинус угла 150° равен минус косинусу смежного угла 30°.

   $$\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Ответ: $$\frac{-\sqrt{3}}{2}$$

3. Упростим выражение, используя формулу косинуса двойного угла: $$\cos^2 α - \sin^2 α = \cos 2α$$.

   $$\cos^2 \frac{π}{8} - \sin^2 \frac{π}{8} = \cos (2 \cdot \frac{π}{8}) = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

4. Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла: $$2 \sin α \cos α = \sin 2α$$.

   Умножим и разделим исходное выражение на 2:

   $$\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}{2} = \frac{\sin (2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin 30^\circ}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

   Ответ: $$\frac{1}{4}$$

5. Упростим выражение, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$.

   $$(\cos^2 \frac{π}{8} + \sin^2 \frac{π}{8})^2 = (1)^2 = 1$$

   Ответ: $$1$$