Задания для самостоятельного решения Вариант А2 аства: a) 73-x < 1 49 ; б) (\frac{1}{5})2x⋅3x ≥ 5; B) 2x+2+2x+5 < 9; г) 9x − 3x ≤ 6. ски неравенство: 2x ≥ \frac{1}{2}.

а) \(7^{3-x} < \frac{1}{49}\)

• Представим правую часть как степень числа 7: \(\frac{1}{49} = 7^{-2}\).
• Получаем неравенство: \(7^{3-x} < 7^{-2}\).
• Так как основание степени больше 1 (7 > 1), то функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству показателей: \(3-x < -2\).
• Решаем неравенство: \(-x < -2 - 3\), \(-x < -5\), \(x > 5\).

б) \((\frac{1}{5})^{2x \cdot 3x} \geq 5\)

• Представим правую часть как степень числа \(\frac{1}{5}\): \(5 = (\frac{1}{5})^{-1}\).
• Получаем неравенство: \((\frac{1}{5})^{6x^2} \geq (\frac{1}{5})^{-1}\).
• Так как основание степени меньше 1 (\(\frac{1}{5} < 1\)), то функция убывающая, и знак неравенства меняется: \(6x^2 \leq -1\).
• Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа неотрицателен: \(6x^2 \geq 0\), а значит, \(6x^2 \leq -1\) не может быть выполнено.

в) \(2^{x+2} + 2^{x+5} < 9\)

• Представим \(2^{x+2}\) как \(2^x \cdot 2^2\) и \(2^{x+5}\) как \(2^x \cdot 2^5\).
• Получаем неравенство: \(2^x \cdot 2^2 + 2^x \cdot 2^5 < 9\), или \(4 \cdot 2^x + 32 \cdot 2^x < 9\).
• Выносим \(2^x\) за скобки: \(2^x(4 + 32) < 9\), \(36 \cdot 2^x < 9\).
• Делим обе части на 36: \(2^x < \frac{9}{36}\), \(2^x < \frac{1}{4}\).
• Представим правую часть как степень числа 2: \(\frac{1}{4} = 2^{-2}\).
• Получаем неравенство: \(2^x < 2^{-2}\).
• Так как основание степени больше 1 (2 > 1), то функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству показателей: \(x < -2\).

г) \(9^x - 3^x \leq 6\)

• Заметим, что \(9^x = (3^x)^2\).
• Пусть \(t = 3^x\), тогда неравенство примет вид: \(t^2 - t \leq 6\).
• Переносим все в левую часть: \(t^2 - t - 6 \leq 0\).
• Решаем квадратное уравнение \(t^2 - t - 6 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\), \(t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\).
• Решаем неравенство \(t^2 - t - 6 \leq 0\). Так как парабола направлена вверх, решение находится между корнями: \(-2 \leq t \leq 3\).
• Вспоминаем, что \(t = 3^x\), получаем: \(-2 \leq 3^x \leq 3\).
• Так как \(3^x > 0\) для любого x, то неравенство \(-2 \leq 3^x\) всегда выполняется. Остается решить неравенство \(3^x \leq 3\).
• Так как основание степени больше 1 (3 > 1), то функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству показателей: \(x \leq 1\).

ски неравенство: \(2^x \geq \frac{1}{2}\)

• Представим правую часть как степень числа 2: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\).
• Получаем неравенство: \(2^x \geq 2^{-1}\).
• Так как основание степени больше 1 (2 > 1), то функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству показателей: \(x \geq -1\).

Ответ: а) x > 5; б) нет решений; в) x < -2; г) x ≤ 1; ски неравенство: x ≥ -1