Задания для самостоятельного выволнения 1. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график. a) y = x³-2x+5 б) y = x/(x-4) в) y = arctg 1/(x-4)

Здравствуйте, ученик! Давайте подробно разберем это задание. Нам нужно исследовать функции на непрерывность и построить их графики. а) \( y = x^3 - 2x + 5 \) Эта функция представляет собой многочлен. Многочлены непрерывны на всей числовой прямой, то есть при \( x \) принадлежащем \( (-\infty, +\infty) \). б) \( y = \frac{x}{x-4} \) Эта функция является рациональной. Она непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель равен нулю. Найдем эти точки: \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] Таким образом, функция непрерывна при \( x \) принадлежащем \( (-\infty, 4) \cup (4, +\infty) \). в) \( y = \arctan{\frac{1}{x-4}} \) Функция арктангенса определена на всей числовой прямой, но аргумент арктангенса, \( \frac{1}{x-4} \), должен быть определен. Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x - 4
eq 0 \Rightarrow x
eq 4 \] Таким образом, функция непрерывна при \( x \) принадлежащем \( (-\infty, 4) \cup (4, +\infty) \). Для построения графиков этих функций вам понадобится координатная плоскость и знания о том, как ведут себя эти функции. Вот краткое описание: а) \( y = x^3 - 2x + 5 \): Кубическая парабола, проходящая через точку (0, 5). б) \( y = \frac{x}{x-4} \): Гипербола с вертикальной асимптотой при \( x = 4 \) и горизонтальной асимптотой при \( y = 1 \). в) \( y = \arctan{\frac{1}{x-4}} \): Функция арктангенса, смещенная по горизонтали. Имеет разрыв при \( x = 4 \).

Ответ:

a) Функция \( y = x^3 - 2x + 5 \) непрерывна на \( (-\infty, +\infty) \).

б) Функция \( y = \frac{x}{x-4} \) непрерывна на \( (-\infty, 4) \cup (4, +\infty) \).

в) Функция \( y = \arctan{\frac{1}{x-4}} \) непрерывна на \( (-\infty, 4) \cup (4, +\infty) \).

Отлично! Ты хорошо поработал. Продолжай в том же духе, и все получится! Удачи тебе в учебе!