Задания для самостоятельной работы

№1. Найдите неопределённый интеграл:

1. a) \( \int 7dx = 7x + C \)
2. б) \( \int (-5x)dx = -5 \frac{x^2}{2} + C \)
3. в) \( \int \frac{1}{2}dx = \frac{1}{2}x + C \)
4. г) \( \int 2xdx = 2 \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \)
5. д) \( \int (-5x)dx = -5 \frac{x^2}{2} + C \)
6. е) \( \int \sqrt{3}xdx = \sqrt{3} \frac{x^2}{2} + C \)
7. ж) \( \int x^4dx = \frac{x^5}{5} + C \)
8. з) \( \int 2x^5dx = 2 \frac{x^6}{6} + C = \frac{x^6}{3} + C \)
9. и) \( \int 5\sin x dx = -5\cos x + C \)
10. к) \( \int (-7\cos x)dx = -7\sin x + C \)
11. л) \( \int \frac{3}{2\sqrt{x}}dx = \int \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = 3\sqrt{x} + C \)
12. м) \( \int \frac{-7dx}{2\sqrt{x}} = \int -\frac{7}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx = -\frac{7}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = -7\sqrt{x} + C \)
13. н) \( \int (\frac{2}{x^2})dx = \int 2x^{-2}dx = 2 \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{2}{x} + C \)
14. о) \( \int \frac{8dx}{x^2} = \int 8x^{-2}dx = 8 \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{8}{x} + C \)
15. п) \( \int \frac{-5dx}{\sin^2x} = \int -5 \frac{1}{\sin^2x}dx = -5\int \frac{1}{\sin^2x}dx = -5(-\cot x) + C = 5\cot x + C \)
16. р) \( \int (\frac{-2}{x^2})dx = \int -2x^{-2}dx = -2 \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{2}{x} + C \)
17. с) \( \int 6\sqrt{x}dx = \int 6x^{\frac{1}{2}}dx = 6 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 6 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = 4x^{\frac{3}{2}} + C \)
18. т) \( \int (-5x^4)dx = -5 \frac{x^5}{5} + C = -x^5 + C \)
19. у) \( \int 0.9\cos x dx = 0.9\sin x + C \)
20. ф) \( \int 2x^{-3}dx = 2 \frac{x^{-2}}{-2} + C = -x^{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C \)

№2. Вам предложено ниже 2 решения интеграла. Выберите, какое из них верное. Ответ объясните.

1. 1) \( \int (2x + 1)dx = \frac{2x^2}{2} + 1x + C = x^2 + x + C \)
2. 2) \( \int (2x + 1)dx = \frac{2x^2}{2} + 1 + C = x^2 + 1 + C \)

Объяснение: Верное решение — первое. При интегрировании константы (1) получается \( 1x \), а не просто \( 1 \).

№3. Решите, используя правила нахождения первообразных.

1. a) \( \int (2x + 2)dx = 2\frac{x^2}{2} + 2x + C = x^2 + 2x + C \)
2. б) \( \int (4x - \cos x)dx = 4\frac{x^2}{2} - \sin x + C = 2x^2 - \sin x + C \)
3. в) \( \int (x^3 - \sin x)dx = \frac{x^4}{4} - (-\cos x) + C = \frac{x^4}{4} + \cos x + C \)
4. г) \( \int (3x^2 + \frac{1}{x})dx = 3\frac{x^3}{3} + \ln|x| + C = x^3 + \ln|x| + C \)
5. д) \( \int (x^6 - \frac{2}{\sin^2x})dx = \frac{x^7}{7} - 2(-\cot x) + C = \frac{x^7}{7} + 2\cot x + C \)
6. е) \( \int (\frac{1}{2\sqrt{x}} - 4x)dx = \int (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 4x)dx = \frac{1}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 4\frac{x^2}{2} + C = \sqrt{x} - 2x^2 + C \)
7. ж) \( \int (\frac{7}{x^2} + x^6)dx = \int (7x^{-2} + x^6)dx = 7\frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^7}{7} + C = -\frac{7}{x} + \frac{x^7}{7} + C \)
8. з) \( \int (8 + 4x - \frac{16}{\sin^2x})dx = 8x + 4\frac{x^2}{2} - 16(-\cot x) + C = 8x + 2x^2 + 16\cot x + C \)
9. и) \( \int (5x^4 + 3x^2 - 1)dx = 5\frac{x^5}{5} + 3\frac{x^3}{3} - x + C = x^5 + x^3 - x + C \)
10. к) \( \int (\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} + 1)dx = \int (\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 3x^{-2} + 1)dx = \frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 3\frac{x^{-1}}{-1} + x + C = 3\sqrt{x} + \frac{3}{x} + x + C \)
11. л) \( \int (\frac{2}{\cos^2x} - \frac{4}{\sin^2x} + 4)dx = 2\tan x - 4(-\cot x) + 4x + C = 2\tan x + 4\cot x + 4x + C \)
12. м) \( \int (9\sqrt{x} + 5x^4 - \frac{5}{2\sqrt{x}})dx = \int (9x^{\frac{1}{2}} + 5x^4 - \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}})dx = 9\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 5\frac{x^5}{5} - \frac{5}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = 9 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + x^5 - 5\sqrt{x} + C = 6x^{\frac{3}{2}} + x^5 - 5\sqrt{x} + C \)