Задания для самостоятельной работы: Решить уравнение: 1. sin x – √3 cos x = 0; 2. √3 sin x + cos x = 0; 3. sin² x – 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0; 4. 5 sin² x – 4 sin x cos x – cos² x = 0.

Решение уравнений:

1. \( \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \)

1. Перенесём \( \sqrt{3} \cos x \) в правую часть: \( \sin x = \sqrt{3} \cos x \).
2. Разделим обе части на \( \cos x \) (при \( \cos x \neq 0 \)): \( \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \).
3. Получим \( \mathrm{tg} x = \sqrt{3} \).
4. Отсюда \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \)

1. Перенесём \( \cos x \) в правую часть: \( \sqrt{3} \sin x = -\cos x \).
2. Разделим обе части на \( \cos x \) (при \( \cos x \neq 0 \)): \( \frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} = -1 \).
3. Получим \( \sqrt{3} \mathrm{tg} x = -1 \), следовательно \( \mathrm{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).
4. Отсюда \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

3. \( \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \)

1. Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (при \( \cos x \neq 0 \)).
2. Получим: \( \mathrm{tg}^2 x - 3 \mathrm{tg} x + 2 = 0 \).
3. Сделаем замену: \( y = \mathrm{tg} x \). Уравнение примет вид: \( y^2 - 3y + 2 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение: \( (y-1)(y-2) = 0 \).
5. Значит, \( y = 1 \) или \( y = 2 \).
6. Возвращаемся к замене: \( \mathrm{tg} x = 1 \) или \( \mathrm{tg} x = 2 \).
7. Для \( \mathrm{tg} x = 1 \) имеем \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \).
8. Для \( \mathrm{tg} x = 2 \) имеем \( x = \mathrm{arctg} 2 + \pi k \).
9. \( n, k \) — любые целые числа.

4. \( 5 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \)

1. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (при \( \cos x \neq 0 \)).
2. Получим: \( 5 \mathrm{tg}^2 x - 4 \mathrm{tg} x - 1 = 0 \).
3. Сделаем замену: \( y = \mathrm{tg} x \). Уравнение примет вид: \( 5y^2 - 4y - 1 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 \).
5. \( \sqrt{D} = 6 \).
6. Корни: \( y_1 = \frac{4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \) и \( y_2 = \frac{4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2 \).
7. Возвращаемся к замене: \( \mathrm{tg} x = 1 \) или \( \mathrm{tg} x = -0.2 \).
8. Для \( \mathrm{tg} x = 1 \) имеем \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \).
9. Для \( \mathrm{tg} x = -0.2 \) имеем \( x = \mathrm{arctg}(-0.2) + \pi k \).
10. \( n, k \) — любые целые числа.

Ответ: 1. \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n \); 2. \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \); 3. \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = \mathrm{arctg} 2 + \pi k \); 4. \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = \mathrm{arctg}(-0.2) + \pi k \), где \( n, k \) — любые целые числа.