Задания для самостоятельной работы Вариант 1 Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линия ми (1-16). 1.43x+18x, y = 0. 2.4=1+x=2. 3.5yxx, y = 3x. 4.5 x³, уx+2. 5.5 y x²-2x+4.y-10-x. 3 6.6y8x-x-7, y=x+3. 7.6 y=x², y=2x-x. 8.6y=2+4x-xx-2x+2. 5- 9. 2 10.6 y=x² -√x. 11.6 yx², y=2√2x. 12.6vx+2, y = x, x = 0. 13.6 y=(x-1), 4(x-2), y = 0. 14.6-y-x-1.x-1. 2 2 15. [6] = sinx, где 0<x<=x 16.6yx-4x, y-4, x=0. 17.7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=х+ 12 и касательными к ней, проведёнными из точки А (0; 3). 18.7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями ко ординат, параболой ух²+ 3 и касательной к ней в точке А(2; 7). 115

Question

Вопрос:

Задания для самостоятельной работы Вариант 1 Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линия ми (1-16). 1.43x+18x, y = 0. 2.4=1+x=2. 3.5yxx, y = 3x. 4.5 x³, уx+2. 5.5 y x²-2x+4.y-10-x. 3 6.6y8x-x-7, y=x+3. 7.6 y=x², y=2x-x. 8.6y=2+4x-xx-2x+2. 5- 9. 2 10.6 y=x² -√x. 11.6 yx², y=2√2x. 12.6vx+2, y = x, x = 0. 13.6 y=(x-1), 4(x-2), y = 0. 14.6-y-x-1.x-1. 2 2 15. [6] = sinx, где 0<x<=x 16.6yx-4x, y-4, x=0. 17.7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=х+ 12 и касательными к ней, проведёнными из точки А (0; 3). 18.7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями ко ординат, параболой ух²+ 3 и касательной к ней в точке А(2; 7). 115

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решим каждое задание по порядку, применяя знания из математического анализа для нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями.

1. 4 y = 3x + 18 - x², y = 0

Для начала найдем точки пересечения кривой и прямой:
3x + 18 - x² = 0
x² - 3x - 18 = 0
(x - 6)(x + 3) = 0
x₁ = 6, x₂ = -3

Площадь фигуры равна интегралу:
S = ∫₋₃⁶ (3x + 18 - x²) dx = [3/2 x² + 18x - 1/3 x³]₋₃⁶ = (3/2 * 36 + 18 * 6 - 1/3 * 216) - (3/2 * 9 - 18 * 3 + 1/3 * 27) = 54 + 108 - 72 - 27/2 + 54 - 9 = 90 - 27/2 + 45 = 135 - 13.5 = 121.5

Ответ: 121.5

2. 4 y = 1 + x², y = 2

Найдём точки пересечения:
1 + x² = 2
x² = 1
x₁ = 1, x₂ = -1

Площадь:
S = ∫₋₁¹ (2 - (1 + x²)) dx = ∫₋₁¹ (1 - x²) dx = [x - 1/3 x³]₋₁¹ = (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) = 2/3 + 2/3 = 4/3

Ответ: 4/3

3. 5 y = x² - x, y = 3x

Найдём точки пересечения:
x² - x = 3x
x² - 4x = 0
x(x - 4) = 0
x₁ = 0, x₂ = 4

Площадь:
S = ∫₀⁴ (3x - (x² - x)) dx = ∫₀⁴ (4x - x²) dx = [2x² - 1/3 x³]₀⁴ = 2 * 16 - 1/3 * 64 = 32 - 64/3 = (96 - 64) / 3 = 32/3

Ответ: 32/3

4. 5 y = x², y = x + 2

Найдём точки пересечения:
x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x₁ = 2, x₂ = -1

Площадь:
S = ∫₋₁² (x + 2 - x²) dx = [1/2 x² + 2x - 1/3 x³]₋₁² = (1/2 * 4 + 2 * 2 - 1/3 * 8) - (1/2 * 1 - 2 - 1/3 * (-1)) = 2 + 4 - 8/3 - 1/2 + 2 - 1/3 = 8 - 9/3 - 1/2 = 5 - 1/2 = 9/2

Ответ: 9/2

5. 5 y = 1/3 x² - 2x + 4, y = 10 - x

Найдём точки пересечения:
1/3 x² - 2x + 4 = 10 - x
1/3 x² - x - 6 = 0
x² - 3x - 18 = 0
(x - 6)(x + 3) = 0
x₁ = 6, x₂ = -3

Площадь:
S = ∫₋₃⁶ (10 - x - (1/3 x² - 2x + 4)) dx = ∫₋₃⁶ (6 + x - 1/3 x²) dx = [6x + 1/2 x² - 1/9 x³]₋₃⁶ = (6 * 6 + 1/2 * 36 - 1/9 * 216) - (6 * (-3) + 1/2 * 9 - 1/9 * (-27)) = 36 + 18 - 24 + 18 - 9/2 - 3 = 45 - 9/2 = 81/2

Ответ: 81/2

6. 6 y = 8x - x² - 7, y = x + 3

Найдём точки пересечения:
8x - x² - 7 = x + 3
x² - 7x + 10 = 0
(x - 5)(x - 2) = 0
x₁ = 5, x₂ = 2

Площадь:
S = ∫₂⁵ (8x - x² - 7 - (x + 3)) dx = ∫₂⁵ (-x² + 7x - 10) dx = [-1/3 x³ + 7/2 x² - 10x]₂⁵ = (-1/3 * 125 + 7/2 * 25 - 50) - (-1/3 * 8 + 7/2 * 4 - 20) = -125/3 + 175/2 - 50 + 8/3 - 14 + 20 = -117/3 + 175/2 - 44 = -39 + 175/2 - 44 = -83 + 175/2 = (-166 + 175) / 2 = 9/2

Ответ: 9/2

7. 6 y = x², y = 2x - x²

Найдём точки пересечения:
x² = 2x - x²
2x² - 2x = 0
2x(x - 1) = 0
x₁ = 0, x₂ = 1

Площадь:
S = ∫₀¹ (2x - x² - x²) dx = ∫₀¹ (2x - 2x²) dx = [x² - 2/3 x³]₀¹ = 1 - 2/3 = 1/3

Ответ: 1/3

8. 6 y = 2 + 4x - x², y = x² - 2x + 2

Найдём точки пересечения:
2 + 4x - x² = x² - 2x + 2
2x² - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x₁ = 0, x₂ = 3

Площадь:
S = ∫₀³ (2 + 4x - x² - (x² - 2x + 2)) dx = ∫₀³ (-2x² + 6x) dx = [-2/3 x³ + 3x²]₀³ = -2/3 * 27 + 3 * 9 = -18 + 27 = 9

Ответ: 9

9. 5 y = 2/x, y = (5 - x) / 2

Найдём точки пересечения:
2/x = (5 - x) / 2
4 = 5x - x²
x² - 5x + 4 = 0
(x - 4)(x - 1) = 0
x₁ = 4, x₂ = 1

Площадь:
S = ∫₁⁴ ((5 - x) / 2 - 2/x) dx = [5/2 x - 1/4 x² - 2 ln|x|]₁⁴ = (5/2 * 4 - 1/4 * 16 - 2 ln 4) - (5/2 - 1/4 - 2 ln 1) = 10 - 4 - 2 ln 4 - 5/2 + 1/4 = 6 - 5/2 + 1/4 - 2 ln 4 = 19/4 - 2 ln 4 = 19/4 - 4 ln 2 ≈ 4.75 - 2.77 = 1.98

Ответ: 19/4 - 4 ln 2

10. 6 y = x², y = √x

Найдём точки пересечения:
x² = √x
x⁴ = x
x(x³ - 1) = 0
x₁ = 0, x₂ = 1

Площадь:
S = ∫₀¹ (√x - x²) dx = [2/3 x^(3/2) - 1/3 x³]₀¹ = 2/3 - 1/3 = 1/3

Ответ: 1/3

11. 6 y = x², y = 2√2x

Найдём точки пересечения:
x² = 2√2x
x⁴ = 8x
x(x³ - 8) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2

Площадь:
S = ∫₀² (2√2x - x²) dx = [2√2 * 2/3 x^(3/2) - 1/3 x³]₀² = 4√2 / 3 * 2√2 - 8/3 = 16/3 - 8/3 = 8/3

Ответ: 8/3

12. 6 y = x²/2 - x + 2, y = x, x = 0

Найдём точки пересечения:
x²/2 - x + 2 = x
x²/2 - 2x + 2 = 0
x² - 4x + 4 = 0
(x - 2)² = 0
x = 2

Площадь:
S = ∫₀² (x - (x²/2 - x + 2)) dx = ∫₀² (-x²/2 + 2x - 2) dx = [-1/6 x³ + x² - 2x]₀² = -8/6 + 4 - 4 = -4/3
Берём модуль, так как площадь не может быть отрицательной.

Ответ: 4/3

13. 6 y = (x - 1)², y = 4(x - 2), y = 0

Найдём точки пересечения:
(x - 1)² = 4(x - 2)
x² - 2x + 1 = 4x - 8
x² - 6x + 9 = 0
(x - 3)² = 0
x = 3

Площадь:
S = ∫₁³ (x - 1)² dx - ∫₂³ 4(x - 2) dx = [1/3 (x - 1)³]₁³ - [2(x - 2)²]₂³ = 8/3 - 2 = 2/3

Ответ: 2/3

14. 6 y = 4/x², y = x - 1, x = 1

Найдём точки пересечения:
4/x² = x - 1
x³ - x² - 4 = 0
x = 2 (очевидный корень)

Площадь:
S = ∫₁² (4/x² - (x - 1)) dx = [-4/x - 1/2 x² + x]₁² = (-4/2 - 1/2 * 4 + 2) - (-4 - 1/2 + 1) = -2 - 2 + 2 + 4 + 1/2 - 1 = 1/2

Ответ: 1/2

15. [6] y = sin x, где 0 < x < π/2, и y = 2/π x

Найдём точки пересечения:
sin x = 2/π x
x = 0 и x = π/2

Площадь:
S = ∫₀^(π/2) (sin x - 2/π x) dx = [-cos x - x²/π]₀^(π/2) = (-cos(π/2) - (π/2)²/π) - (-cos 0 - 0) = 0 - π/4 + 1 = 1 - π/4

Ответ: 1 - π/4

16. 6 y = x² - 4x, y = -4, x = 0

Найдём точки пересечения:
x² - 4x = -4
x² - 4x + 4 = 0
(x - 2)² = 0
x = 2

Площадь:
S = |∫₀² (x² - 4x + 4) dx| = |[1/3 x³ - 2x² + 4x]₀²| = |8/3 - 8 + 8| = 8/3

Ответ: 8/3

17. 7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² + 12 и касательными к ней, проведёнными из точки A(0; 3).

Пусть (x₀, y₀) - точка касания. Тогда y₀ = x₀² + 12.
Уравнение касательной: y = kx + 3
k = y' = 2x₀
y = 2x₀x + 3
В точке касания: x₀² + 12 = 2x₀² + 3
x₀² = 9
x₀ = ±3

Касательные: y = 6x + 3 и y = -6x + 3
Площадь:
S = ∫₋₃⁰ (-6x + 3 - (x² + 12)) dx + ∫₀³ (6x + 3 - (x² + 12)) dx = 2 * ∫₀³ (6x - x² - 9) dx = 2 * [3x² - 1/3 x³ - 9x]₀³ = 2 * (27 - 9 - 27) = -18
Берём модуль, так как площадь не может быть отрицательной.

Ответ: 18

18. 7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, параболой y = x² + 3 и касательной к ней в точке A(2; 7).

y' = 2x
В точке A(2; 7): y' = 4
Уравнение касательной: y = 4(x - 2) + 7 = 4x - 1

Найдём точки пересечения:
С осью x: 4x - 1 = 0 => x = 1/4
С осью y: x = 0 => y = -1
Площадь:
S = ∫₀² (x² + 3) dx - 1/2 * 1/4 * 1 = [1/3 x³ + 3x]₀² - 1/8 = 8/3 + 6 - 1/8 = 8/3 + 47/8 = (64 + 141) / 24 = 205/24

Ответ: 205/24