Задания для самостоятельной работы Задание 1 а) Вычислите sin 2a, cos 2a, tg2а, если b)Вычислите sin, cos, tg, если 1 вариант 2 вариант Задание 2 Упростить: 1 вариант 2 вариант РУССКИЙ W 8 5 a)cos a = 13 4 и ηπ п < α < b) sin a = − αε (π;) 3π 2 (3τ; 2π) 2;2π, α = −0,1, α ε; 2π a) sin a b) cos a = 1 Ε π Ξαε (;π) 3' sin 2a + (cos a − sin a)² sin 2a 1 + cos 20 α

Предмет: Математика (Тригонометрия)

Привет! Давай вместе разберем эти задания по тригонометрии. Будем вычислять тригонометрические функции и упрощать выражения. Не волнуйся, все получится!

Задание 1

1 вариант

a) cos α = -5/13, π < α < 3π/2

Сначала найдем sin α, зная, что π < α < 3π/2, α находится в 3-й четверти, где sin α < 0.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

sin² α = 1 - cos² α = 1 - (-5/13)² = 1 - 25/169 = (169 - 25)/169 = 144/169

sin α = -√(144/169) = -12/13 (знак минус, так как α в 3-й четверти)

Теперь вычислим sin 2α, cos 2α и tg 2α:

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (-12/13) \cdot (-5/13) = 120/169

cos 2α = cos² α - sin² α = (-5/13)² - (-12/13)² = 25/169 - 144/169 = -119/169

tg 2α = sin 2α / cos 2α = (120/169) / (-119/169) = -120/119

б) sin α = -4/5, α ∈ (π; 3π/2)

Сначала найдем cos α, зная, что α находится в 3-й четверти, где cos α < 0.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

cos² α = 1 - sin² α = 1 - (-4/5)² = 1 - 16/25 = (25 - 16)/25 = 9/25

cos α = -√(9/25) = -3/5 (знак минус, так как α в 3-й четверти)

Теперь вычислим sin(α/2), cos(α/2) и tg(α/2):

sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2) = ±√((1 - (-3/5))/2) = ±√((1 + 3/5)/2) = ±√((8/5)/2) = ±√(4/5)

Так как π/2 < α/2 < 3π/4, α/2 находится во 2-й четверти, где sin(α/2) > 0.

sin(α/2) = √(4/5) = 2/√5 = (2√5)/5

cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2) = ±√((1 + (-3/5))/2) = ±√((1 - 3/5)/2) = ±√((2/5)/2) = ±√(1/5)

Так как π/2 < α/2 < 3π/4, α/2 находится во 2-й четверти, где cos(α/2) < 0.

cos(α/2) = -√(1/5) = -1/√5 = (-√5)/5

tg(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2) = ((2√5)/5) / ((-√5)/5) = -2

2 вариант

a) sin α = -0,1, α ∈ (3π/2; 2π)

Сначала найдем cos α, зная, что α находится в 4-й четверти, где cos α > 0.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

cos² α = 1 - sin² α = 1 - (-0.1)² = 1 - 0.01 = 0.99

cos α = √(0.99) = √(99/100) = (3√11)/10 (знак плюс, так как α в 4-й четверти)

Теперь вычислим sin 2α, cos 2α и tg 2α:

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (-0.1) \cdot ((3√11)/10) = (-3√11)/50

cos 2α = cos² α - sin² α = (0.99) - (0.01) = 0.98

tg 2α = sin 2α / cos 2α = ((-3√11)/50) / (0.98) = (-3√11)/49

б) cos α = -1/3, α ∈ (π/2; π)

Сначала найдем sin α, зная, что α находится во 2-й четверти, где sin α > 0.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

sin² α = 1 - cos² α = 1 - (-1/3)² = 1 - 1/9 = (9 - 1)/9 = 8/9

sin α = √(8/9) = (2√2)/3 (знак плюс, так как α во 2-й четверти)

Теперь вычислим sin(α/2), cos(α/2) и tg(α/2):

sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2) = ±√((1 - (-1/3))/2) = ±√((1 + 1/3)/2) = ±√((4/3)/2) = ±√(2/3)

Так как π/4 < α/2 < π/2, α/2 находится в 1-й четверти, где sin(α/2) > 0.

sin(α/2) = √(2/3) = (√6)/3

cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2) = ±√((1 + (-1/3))/2) = ±√((1 - 1/3)/2) = ±√((2/3)/2) = ±√(1/3)

Так как π/4 < α/2 < π/2, α/2 находится в 1-й четверти, где cos(α/2) > 0.

cos(α/2) = √(1/3) = (√3)/3

tg(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2) = ((√6)/3) / ((√3)/3) = √2

Задание 2

1 вариант

Упростить: sin 2α + (cos α - sin α)²

sin 2α + (cos α - sin α)² = sin 2α + (cos² α - 2 cos α sin α + sin² α) = sin 2α + cos² α + sin² α - 2 cos α sin α = sin 2α + 1 - sin 2α = 1

2 вариант

Упростить: sin 2α / (1 + cos 2α)

sin 2α / (1 + cos 2α) = (2 sin α cos α) / (1 + (2 cos² α - 1)) = (2 sin α cos α) / (2 cos² α) = sin α / cos α = tg α

Ответ:

Задание 1:

1 вариант: а) sin 2α = 120/169, cos 2α = -119/169, tg 2α = -120/119; б) sin(α/2) = (2√5)/5, cos(α/2) = (-√5)/5, tg(α/2) = -2

2 вариант: а) sin 2α = (-3√11)/50, cos 2α = 0.98, tg 2α = (-3√11)/49; б) sin(α/2) = (√6)/3, cos(α/2) = (√3)/3, tg(α/2) = √2

Задание 2:

1 вариант: 1

2 вариант: tg α

Ты молодец! У тебя всё получится!