Задания к §10: 17. Построить график функции с помощью производной. 1) y = x⁴ − 2 • x² + 2 . 2) y = 3 x⁵-5x³

Здравствуйте! Давайте выполним построение графиков функций с помощью производной. Это очень интересный и полезный навык!

1) y = x⁴ − 2x² + 2

1. Найдём производную функции: \[ y' = 4x³ - 4x \]
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \[ 4x³ - 4x = 0 \] \[ 4x(x² - 1) = 0 \] \[ x = 0, x = 1, x = -1 \]
3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы понять характер монотонности функции:
   • x < -1: y' < 0 (функция убывает)
   • -1 < x < 0: y' > 0 (функция возрастает)
   • 0 < x < 1: y' < 0 (функция убывает)
   • x > 1: y' > 0 (функция возрастает)
4. Найдём значения функции в критических точках:
   • y(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² + 2 = 1 - 2 + 2 = 1
   • y(0) = 0⁴ - 2(0)² + 2 = 2
   • y(1) = (1)⁴ - 2(1)² + 2 = 1 - 2 + 2 = 1
5. Определим точки экстремума:
   • x = -1 – точка минимума, y(-1) = 1
   • x = 0 – точка максимума, y(0) = 2
   • x = 1 – точка минимума, y(1) = 1
6. Найдём вторую производную, чтобы определить точки перегиба: \[ y'' = 12x² - 4 \]
7. Приравняем вторую производную к нулю: \[ 12x² - 4 = 0 \] \[ x² = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.577 \]

Теперь можно построить график, используя полученные данные.

2) y = 3x⁵ − 5x³

1. Найдём производную функции: \[ y' = 15x⁴ - 15x² \]
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \[ 15x⁴ - 15x² = 0 \] \[ 15x²(x² - 1) = 0 \] \[ x = 0, x = 1, x = -1 \]
3. Определим знаки производной на интервалах:
   • x < -1: y' > 0 (функция возрастает)
   • -1 < x < 0: y' < 0 (функция убывает)
   • 0 < x < 1: y' < 0 (функция убывает)
   • x > 1: y' > 0 (функция возрастает)
4. Найдём значения функции в критических точках:
   • y(-1) = 3(-1)⁵ - 5(-1)³ = -3 + 5 = 2
   • y(0) = 3(0)⁵ - 5(0)³ = 0
   • y(1) = 3(1)⁵ - 5(1)³ = 3 - 5 = -2
5. Определим точки экстремума:
   • x = -1 – точка максимума, y(-1) = 2
   • x = 0 – не является точкой экстремума (точка перегиба), y(0) = 0
   • x = 1 – точка минимума, y(1) = -2
6. Найдём вторую производную, чтобы определить точки перегиба: \[ y'' = 60x³ - 30x \]
7. Приравняем вторую производную к нулю: \[ 60x³ - 30x = 0 \] \[ 30x(2x² - 1) = 0 \] \[ x = 0, x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.707 \]

Теперь можно построить график, используя полученные данные.

Ответ: Построены графики функций с помощью производной.

Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как строить графики функций с использованием производной. Ты молодец, у тебя все получится!