502. Задайте системой неравенств: a) треугольник, изображенный на рисунке 73, а; б) кольцо, изображенное на рисунке 73, 6.

Ответ:

Привет! Давай разберем эту задачу по порядку. Наша цель — задать системы неравенств для треугольника и кольца, изображенных на рисунке 73.

а) Треугольник

Для треугольника, изображенного на рисунке 73а, нам нужно определить уравнения прямых, которые образуют его стороны, и соответствующие неравенства, чтобы описать внутреннюю область треугольника.

1. Определение уравнений прямых:

Треугольник образован тремя прямыми. Две из них проходят через точки (-2, 0) и (0, 3), а также (2, 0) и (0, 3). Третья прямая — это y = 0.

2. Уравнение первой прямой (левая сторона):

Прямая проходит через точки (-2, 0) и (0, 3). Используем уравнение прямой в виде y = kx + b.

• Подставим точку (-2, 0): 0 = -2k + 3, откуда k = 3/2.
• Уравнение: y = (3/2)x + 3.
3. Уравнение второй прямой (правая сторона):

Прямая проходит через точки (2, 0) и (0, 3). Используем уравнение прямой в виде y = kx + b.

• Подставим точку (2, 0): 0 = 2k + 3, откуда k = -3/2.
• Уравнение: y = (-3/2)x + 3.

Теперь определим неравенства. Область внутри треугольника находится ниже обеих этих прямых и выше оси x (y = 0).

1. Неравенство для левой стороны:
   • y ≤ (3/2)x + 3
2. Неравенство для правой стороны:
   • y ≤ (-3/2)x + 3
3. Неравенство для нижней границы:
   • y ≥ 0

Объединим эти неравенства в систему:

\[\begin{cases} y \le \frac{3}{2}x + 3 \\ y \le -\frac{3}{2}x + 3 \\ y \ge 0 \end{cases}\]

б) Кольцо

Для кольца, изображенного на рисунке 73б, нам нужно определить уравнения двух окружностей и соответствующие неравенства, чтобы описать область между ними.

1. Определение уравнений окружностей:

Кольцо образовано двумя окружностями с центром в начале координат. Радиус внутренней окружности равен 5, а радиус внешней окружности равен 10.

2. Уравнение внутренней окружности:
   • x² + y² = 5² = 25
3. Уравнение внешней окружности:
   • x² + y² = 10² = 100

Теперь определим неравенства. Область кольца находится между внутренней и внешней окружностями.

1. Неравенство для внешней границы:
   • x² + y² ≤ 100
2. Неравенство для внутренней границы:
   • x² + y² ≥ 25

Объединим эти неравенства в систему:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 \le 100 \\ x^2 + y^2 \ge 25 \end{cases}\]

Ответ:

а) Система неравенств для треугольника: \[\begin{cases} y \le \frac{3}{2}x + 3 \\ y \le -\frac{3}{2}x + 3 \\ y \ge 0 \end{cases}\]

б) Система неравенств для кольца: \[\begin{cases} x^2 + y^2 \le 100 \\ x^2 + y^2 \ge 25 \end{cases}\]

Ты молодец! Теперь ты знаешь, как задавать системы неравенств для различных фигур. У тебя все получится!