Задумали двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 19. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно $$x$$. Так как оно делится на 5, то $$x$$ может быть равно 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95. Когда к числу $$x$$ приписали его же справа, получилось четырёхзначное число $$100x + x = 101x$$. Известно, что это число делится на 19, значит, $$101x$$ делится на 19. Так как 101 не делится на 19, то $$x$$ должно делиться на 19. Проверим, какие из возможных значений $$x$$ делятся на 19. Перебираем возможные значения $$x$$: * $$x = 10$$: $$101 \cdot 10 = 1010$$. $$1010 \div 19 \approx 53.16$$ (не делится на 19) * $$x = 15$$: $$101 \cdot 15 = 1515$$. $$1515 \div 19 \approx 79.74$$ (не делится на 19) * $$x = 20$$: $$101 \cdot 20 = 2020$$. $$2020 \div 19 \approx 106.32$$ (не делится на 19) * $$x = 25$$: $$101 \cdot 25 = 2525$$. $$2525 \div 19 = 132.89$$ (не делится на 19) * $$x = 30$$: $$101 \cdot 30 = 3030$$. $$3030 \div 19 = 159.47$$ (не делится на 19) * $$x = 35$$: $$101 \cdot 35 = 3535$$. $$3535 \div 19 = 186.05$$ (не делится на 19) * $$x = 40$$: $$101 \cdot 40 = 4040$$. $$4040 \div 19 = 212.63$$ (не делится на 19) * $$x = 45$$: $$101 \cdot 45 = 4545$$. $$4545 \div 19 = 239.21$$ (не делится на 19) * $$x = 50$$: $$101 \cdot 50 = 5050$$. $$5050 \div 19 = 265.79$$ (не делится на 19) * $$x = 55$$: $$101 \cdot 55 = 5555$$. $$5555 \div 19 = 292.37$$ (не делится на 19) * $$x = 60$$: $$101 \cdot 60 = 6060$$. $$6060 \div 19 = 318.95$$ (не делится на 19) * $$x = 65$$: $$101 \cdot 65 = 6565$$. $$6565 \div 19 = 345.53$$ (не делится на 19) * $$x = 70$$: $$101 \cdot 70 = 7070$$. $$7070 \div 19 = 372.11$$ (не делится на 19) * $$x = 75$$: $$101 \cdot 75 = 7575$$. $$7575 \div 19 = 398.68$$ (не делится на 19) * $$x = 80$$: $$101 \cdot 80 = 8080$$. $$8080 \div 19 = 425.26$$ (не делится на 19) * $$x = 85$$: $$101 \cdot 85 = 8585$$. $$8585 \div 19 = 451.84$$ (не делится на 19) * $$x = 90$$: $$101 \cdot 90 = 9090$$. $$9090 \div 19 = 478.42$$ (не делится на 19) * $$x = 95$$: $$101 \cdot 95 = 9595$$. $$9595 \div 19 = 505$$ (делится на 19) Таким образом, задуманное число равно 95.