13. Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое даёт остаток 3 при делении на 9. Какое число задумали?

Обозначим двузначное число как \( x = 10a + b \), где \( a \) - первая цифра, \( b \) - вторая цифра. Условие делимости на 15 означает, что \( x \) делится на 3 и на 5. Делимость на 5 означает, что \( b = 0 \) или \( b = 5 \). Если \( b = 0 \), то число не будет двузначным. Значит, \( b = 5 \). Делимость на 3 выполняется, если \( a + b \) делится на 3. \( a + 5 \) должно делиться на 3. Когда к числу \( x \) справа приписывают цифру \( b \), получится число \( y = 100a + 10b + b = 100a + 11b \). Условие \( y \) даёт остаток 3 при делении на 9 означает, что \( (100a + 11b) \mod 9 = 3 \). Подставим \( b = 5 \): \( (100a + 55) \mod 9 = 3 \). Так как \( 100 \mod 9 = 1 \), упростим: \( (a + 55) \mod 9 = 3 \). \( 55 \mod 9 = 1 \), следовательно, \( (a + 1) \mod 9 = 3 \). \( a + 1 = 9k + 3 \), где \( k \) - целое число. \( a = 9k + 2 \). Так как \( a \) - цифра, то \( a = 2 \). Таким образом, число \( x = 25 \).