Задумали двузначное число, которое делится на 18. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое делится на 9. Какое число задумали?

Пусть двузначное число равно 10a + b, где a - первая цифра, b - последняя. Число делится на 18, значит, делится на 2 и 9. Следовательно, b - четная цифра (0, 2, 4, 6, 8) и сумма цифр (a+b) делится на 9. Трехзначное число равно 100a + 10b + b = 100a + 11b. Это число делится на 9. Если a+b делится на 9, то 100a + 11b = 99a + a + 9b + 2b = 9(11a+b) + (a+2b). Для делимости на 9, a+2b должно делиться на 9. Перебираем возможные значения b: Если b=0, a+0=9, a=9. Проверяем: 90 делится на 18. 900 делится на 9. Если b=2, a+2*2=a+4 делится на 9. a=5. Проверяем: 52 не делится на 18. Если b=4, a+2*4=a+8 делится на 9. a=1. Проверяем: 14 не делится на 18. Если b=6, a+2*6=a+12 делится на 9. a=6. Проверяем: 66 не делится на 18. Если b=8, a+2*8=a+16 делится на 9. a=2. Проверяем: 28 не делится на 18. Единственное подходящее число - 90.