Задумали двузначное число, которое делится на 3. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 19. Какое число задумали?

Пусть двузначное число равно $$x$$. Тогда четырёхзначное число равно $$100x + x = 101x$$. По условию, $$101x$$ делится на 19. Так как 101 и 19 взаимно просты, то $$x$$ должно делиться на 19. Двузначные числа, кратные 19, это 19, 38, 57, 76, 95. Из них на 3 делятся 57 и 95. Проверим: $$101 imes 57 = 5757$$, $$5757 / 19 = 303$$. $$101 imes 95 = 9595$$, $$9595 / 19 = 505$$. Оба числа подходят. Однако, в условии сказано, что число делится на 3. $$5+7=12$$, $$12$$ делится на 3. $$9+5=14$$, $$14$$ не делится на 3. Следовательно, задуманное число 57.
Ответ: 57