Задумали двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число 8 раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 17. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно $$x$$. Тогда четырёхзначное число можно представить как $$100x + x = 101x$$. По условию, $$101x$$ делится на 17. Так как 101 и 17 взаимно просты, то $$x$$ должно делиться на 17. Двузначные числа, делящиеся на 17, это 17, 34, 51, 68, 85. Из них на 5 делятся 85. Проверим: 8585 / 17 = 505. Значит, задуманное число 85.