Задумали двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 17. Какое число задумали?

Решение:

Пусть задуманное двузначное число будет \( x \). Поскольку число делится на 5, оно оканчивается на 0 или 5. Так как это двузначное число, \( x \) не может быть 0. Следовательно, \( x \) оканчивается на 5. Значит, \( x = 10a + 5 \), где \( a \) — цифра от 1 до 9.

Когда к числу \( x \) справа приписали это же число ещё раз, получилось четырёхзначное число. Это четырёхзначное число можно представить как \( 100x + x \) или \( 101x \).

По условию, это четырёхзначное число делится на 17. То есть, \( 101x \) делится на 17.

Подставим \( x = 10a + 5 \) в выражение \( 101x \):

\[ 101(10a + 5) \text{ делится на } 17 \]\[ 1010a + 505 \text{ делится на } 17 \]\[ (17 \cdot 59 + 7)a + (17 \cdot 29 + 12) \text{ делится на } 17 \]\[ 7a + 12 \text{ делится на } 17 \]

Теперь нужно найти такую цифру \( a \) (от 1 до 9), чтобы \( 7a + 12 \) делилось на 17.

• Если \( a = 1 \): \( 7(1) + 12 = 19 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 2 \): \( 7(2) + 12 = 14 + 12 = 26 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 3 \): \( 7(3) + 12 = 21 + 12 = 33 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 4 \): \( 7(4) + 12 = 28 + 12 = 40 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 5 \): \( 7(5) + 12 = 35 + 12 = 47 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 6 \): \( 7(6) + 12 = 42 + 12 = 54 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 7 \): \( 7(7) + 12 = 49 + 12 = 61 \) (не делится на 17)
• Если \( a = 8 \): \( 7(8) + 12 = 56 + 12 = 68 \)

Число 68 делится на 17, так как \( 68 = 17 \cdot 4 \).

Таким образом, \( a = 8 \).

Теперь найдём задуманное число \( x \):

\[ x = 10a + 5 = 10(8) + 5 = 80 + 5 = 85 \]

Проверим: число 85 делится на 5. Приписываем 85 справа, получаем 8585. Делим 8585 на 17: \( 8585 \div 17 = 505 \).

Число 8585 делится на 17.

Ответ: 85