Задумали двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число. Оказалось, что получившееся четырёхничное число делится на 13. Какое число задумали?

Решение:

Пусть задуманное двузначное число равно \( x \). Так как число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или 5. Оно двузначное, поэтому \( 10 \le x \le 95 \).

Когда к числу \( x \) справа приписали это же число, получилось четырёхзначное число. Например, если задумали число \( 25 \), то получилось \( 2525 \).

Это новое число можно представить как \( 100x + x = 101x \).

По условию, это четырёхзначное число делится на 13. Значит, \( 101x \) делится на 13.

Разложим 101 на множители или проверим, делится ли 101 на 13. \( 101 \div 13 \approx 7.77 \). 101 не делится на 13 без остатка.

Таким образом, чтобы \( 101x \) делилось на 13, число \( x \) должно делиться на 13 (так как 101 и 13 взаимно простые).

Нам нужно найти двузначное число \( x \), которое:

• делится на 5;
• делится на 13.

Числа, которые делятся и на 5, и на 13, делятся на их наименьшее общее кратное. Так как 5 и 13 — простые числа, их НОК равно их произведению: \( 5 \times 13 = 65 \).

Значит, задуманное число \( x \) должно делиться на 65.

Найдем двузначные числа, кратные 65:

• \( 65 \times 1 = 65 \). Это двузначное число.
• \( 65 \times 2 = 130 \). Это трёхзначное число.

Единственное двузначное число, кратное 65, — это 65.

Проверим:

• Число 65 двузначное и делится на 5.
• Приписываем справа это же число: 6565.
• Проверяем, делится ли 6565 на 13: \( 6565 \div 13 = 505 \). Делится без остатка.

Ответ: 65.