1. Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 1 меньше первой. 2. Решите системы уравнений: a) (x² - xy = 35 a) (x2 + xy = 15 x² + y² = 25 6)(x²-y = 5

Решение задачи №1:

Пусть первая цифра задуманного числа x, а вторая цифра y. Тогда задуманное число можно представить как 10x + y, а число с переставленными цифрами — как 10y + x. Из условия задачи известны следующие соотношения: * Сумма квадратов полученного числа и задуманного числа равна 585: \[(10x + y)^2 + (10y + x)^2 = 585\] * Вторая цифра на 1 меньше первой: \[y = x - 1\] Подставим второе уравнение в первое: \[(10x + x - 1)^2 + (10(x - 1) + x)^2 = 585\] \[(11x - 1)^2 + (11x - 10)^2 = 585\] \[121x^2 - 22x + 1 + 121x^2 - 220x + 100 = 585\] \[242x^2 - 242x + 101 = 585\] \[242x^2 - 242x - 484 = 0\] Разделим уравнение на 22: \[11x^2 - 11x - 22 = 0\] \[x^2 - x - 2 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант равен: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] Корни уравнения: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\] Так как цифра не может быть отрицательной, выбираем x = 2. Тогда y = x - 1 = 2 - 1 = 1. Следовательно, задуманное число равно 10x + y = 10 \cdot 2 + 1 = 21.

Решение системы уравнений 2a:

Дана система уравнений: \begin{cases} x^2 - xy = 35 \\ x^2 + xy = 15 \end{cases} Сложим два уравнения системы: \[(x^2 - xy) + (x^2 + xy) = 35 + 15\] \[2x^2 = 50\] \[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\] Теперь найдем соответствующие значения y: Если x = 5: \[5^2 - 5y = 35\] \[25 - 5y = 35\] \[-5y = 10\] \[y = -2\] Если x = -5: \[(-5)^2 - (-5)y = 35\] \[25 + 5y = 35\] \[5y = 10\] \[y = 2\] Таким образом, решения системы уравнений: (5, -2) и (-5, 2)

Решение системы уравнений 2б:

Дана система уравнений: \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y = 5 \end{cases} Из второго уравнения выразим y: \[y = x^2 - 5\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + (x^2 - 5)^2 = 25\] \[x^2 + x^4 - 10x^2 + 25 = 25\] \[x^4 - 9x^2 = 0\] \[x^2(x^2 - 9) = 0\] Отсюда находим значения x: * x² = 0, следовательно, x = 0. Тогда y = 0² - 5 = -5 * x² - 9 = 0, следовательно, x² = 9 и x = ±3. * Если x = 3, то y = 3² - 5 = 9 - 5 = 4 * Если x = -3, то y = (-3)² - 5 = 9 - 5 = 4 Таким образом, решения системы уравнений: (0, -5), (3, 4) и (-3, 4)