Задумали нечётное трехзначное число, которое делится на 27. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Какое число было задумано?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначим задуманное трехзначное число как \( \overline{abc} \), где a, b и c - цифры этого числа. Тогда число можно представить в виде: \( 100a + 10b + c \).
2. По условию, это число делится на 27, то есть \( 100a + 10b + c \) кратно 27.
3. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет \( \overline{cba} \), что равно \( 100c + 10b + a \).
4. Из условия задачи известно, что разность между задуманным числом и числом, записанным в обратном порядке, равна 693:
   \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693 \)
   \( 99a - 99c = 693 \)
   \( a - c = 7 \)
5. Так как a и c - цифры, то \( a = c + 7 \). Возможные варианты:
   Если \( c = 1 \), то \( a = 8 \);
   Если \( c = 2 \), то \( a = 9 \).
6. Задуманное число нечётное, значит, цифра \( c \) должна быть нечётной. Следовательно, подходит только вариант \( c = 1 \), тогда \( a = 8 \).
7. Теперь нужно найти цифру b. Задуманное число имеет вид \( \overline{8b1} \), и оно делится на 27.
8. Проверим возможные варианты для b, чтобы число \( \overline{8b1} \) делилось на 27:
   Если \( b = 3 \), то \( 831 : 27 = 30.77 \) (не делится);
   Если \( b = 6 \), то \( 861 : 27 = 31.89 \) (не делится);
   Если \( b = 9 \), то \( 891 : 27 = 33 \) (делится).
9. Таким образом, задуманное число \( 891 \).

Ответ: 891