(17) Задумали нечётное трёхзначное число, которое делится на 9. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Какое число было заду- мано? Решение. Ответ:

Решение:

Пусть задуманное число имеет вид $$abc$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - цифры, причём $$a$$ - нечётная.

Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $$cba$$.

По условию, $$abc - cba = 693$$.

Представим числа в виде суммы разрядных слагаемых:

$$100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 693$$

$$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693$$

$$99a - 99c = 693$$

$$99(a - c) = 693$$

$$a - c = 693 : 99$$

$$a - c = 7$$

Так как число делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9, то есть $$a + b + c = 9k$$, где $$k$$ - натуральное число.

Т.к. $$a-c=7$$, то $$a=c+7$$. Подставим это выражение в сумму цифр: $$c+7+b+c=9k$$, $$2c+b+7=9k$$.

Т.к. $$a$$ нечётное, а $$a=c+7$$, то $$c$$ - чётное.

Возможные варианты для $$c$$: 0, 2.

• Если $$c=0$$, то $$a=7$$. Тогда $$7+b+0=9k$$, $$b+7=9k$$. Если $$k=1$$, то $$b=2$$. Если $$k=2$$, то $$b=11$$, что невозможно. Итак, $$abc = 720$$
• Если $$c=2$$, то $$a=9$$. Тогда $$9+b+2=9k$$, $$b+11=9k$$. Если $$k=1$$, то $$b=-2$$, что невозможно. Если $$k=2$$, то $$b=7$$. Итак, $$abc = 972$$

Проверим:

• $$720-027=693$$
• $$972-279=693$$

Т.к. по условию число нечётное, то подходит только один вариант.

Ответ: 972 не подходит, т.к. оно чётное.

Ответ: 720