Задумали трехзначное число, которое делится на 35. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ — цифры, причем число $$\overline{abc}$$ делится на 35. Это значит, что оно должно быть кратно 5 и 7. Так как число делится на 5, то $$c$$ равно либо 0, либо 5. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц, то есть получили число $$\overline{acb}$$. И вычли полученное число из задуманного, то есть: $$\overline{abc} - \overline{acb} = 63$$ $$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63$$ $$10b + c - 10c - b = 63$$ $$9b - 9c = 63$$ $$9(b - c) = 63$$ $$b - c = 7$$ Теперь рассмотрим два случая: 1) Если $$c = 0$$, то $$b - 0 = 7$$, значит $$b = 7$$. Тогда число имеет вид $$\overline{a70}$$ и делится на 35. Значит $$\overline{a70} = 35k$$ для некоторого целого $$k$$. $$\overline{a70} = 100a + 70 = 35k$$ Разделим обе части на 35: $$\frac{100a + 70}{35} = k$$ $$\frac{20a + 14}{7} = k$$ $$\frac{20a}{7} + 2 = k$$ Чтобы $$k$$ было целым числом, $$20a$$ должно делиться на 7. Единственное однозначное число $$a$$, при котором это выполняется, это $$a = 7$$. Тогда число равно 770. 2) Если $$c = 5$$, то $$b - 5 = 7$$, значит $$b = 12$$. Но $$b$$ - это цифра, поэтому этот случай невозможен. Таким образом, задуманное число - 770. Проверим: 770 делится на 35, так как $$770 = 35 \cdot 22$$. Переставим цифры в разрядах десятков и единиц: 707. $$770 - 707 = 63$$. Ответ: 770