Задумали трехзначное число, которое меньше 800, делится на 26 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 495. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b, c - цифры, причем $$a
eq 0$$ и $$c
eq 0$$. Тогда число, записанное в обратном порядке, будет иметь вид $$\overline{cba}$$. По условию, $$\overline{abc} - \overline{cba} = 495$$. Разложим числа $$\overline{abc}$$ и $$\overline{cba}$$ по разрядам: $$\overline{abc} = 100a + 10b + c$$ $$\overline{cba} = 100c + 10b + a$$ Тогда $$100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 495$$ $$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495$$ $$99a - 99c = 495$$ $$99(a - c) = 495$$ $$a - c = 5$$ Так как число $$\overline{abc}$$ меньше 800, то $$a < 8$$. Также, по условию, $$\overline{abc}$$ делится на 26. Поскольку $$a - c = 5$$, рассмотрим возможные значения для $$a$$ и $$c$$: Если $$a = 6$$, то $$c = 1$$. Число имеет вид $$\overline{6b1}$$. Чтобы проверить, делится ли такое число на 26, нужно перебрать варианты для $$b$$. Число $$\overline{6b1}$$ будет между 601 и 691. Проверим числа кратные 26 в этом диапазоне. $$624=26*24$$. $$624 \div 26 = 24$$ . Это число делится на 26. Проверим, верно ли, что $$624 - 426 = 198
eq 495$$. Если $$a=7$$, то $$c=2$$. Число имеет вид $$\overline{7b2}$$. Чтобы проверить, делится ли такое число на 26, нужно перебрать варианты для $$b$$. Число $$\overline{7b2}$$ будет между 702 и 792. $$728 \div 26 = 28$$ и $$728=26*28$$. Это число делится на 26. Проверим, верно ли, что $$728 - 827 = -99
eq 495$$. Так как по условию $$a - c = 5$$, то $$a > c$$. И $$\overline{abc} - \overline{cba} = 495$$, то $$a > c$$. Поскольку $$a-c = 5$$, то $$a = c+5$$. Тогда $$\overline{cba} = 100c + 10b + a = 100c + 10b + c + 5 = 101c + 10b + 5$$ Рассмотрим варианты когда $$a = 5, 6, 7$$. Если $$a = 5$$, то $$c = 0$$. По условию $$c
eq 0$$. Если $$a = 6$$, то $$c = 1$$. $$\overline{abc} = 6b1$$ и $$\overline{cba} = 1b6$$. $$\overline{abc} - \overline{cba} = 495$$. $$6b1 - 1b6 = 495$$. Тогда $$500 - 5 = 495$$. Значит, $$6b1 > 1b6$$. $$6b1 = 600 + 10b + 1$$, $$1b6 = 100 + 10b + 6$$. Если $$6b1 - 1b6 = 495$$, то $$601 - 106 = 495$$, и $$b=0$$, но число $$601$$ не делится на $$26$$. Если $$a=7$$, то $$c=2$$. $$\overline{abc} = 7b2$$ и $$\overline{cba} = 2b7$$. $$\overline{abc} - \overline{cba} = 495$$. $$7b2 - 2b7 = 495$$. $$7b2 = 700 + 10b + 2$$. $$2b7 = 200 + 10b + 7$$. Тогда $$702-207 = 495$$, то $$b = 0$$, тогда число $$702/26 = 27$$. Значит, число $$702$$ удовлетворяет условиям. Проверим число 702: 1) $$702 < 800$$ - верно. 2) Последняя цифра не равна нулю - верно. 3) $$702 \div 26 = 27$$ - делится на 26. 4) $$702 - 207 = 495$$ - верно. Тогда задуманное число равно 702.