Задумали трёхзначное число, которое больше 700 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 72. Какое число было задумано?

Решение:

1. Обозначим задуманное трёхзначное число как \( \overline{abc} \), где \( a \) — цифра сотен, \( b \) — цифра десятков, \( c \) — цифра единиц.
2. По условию, число больше 700, то есть \( a \ge 7 \).
3. Число делится на 15, значит, оно делится и на 3, и на 5. Если число делится на 5, то последняя цифра \( c \) равна 0 или 5.
4. Если поменять местами цифры десятков и единиц, получится число \( \overline{acb} \).
5. По условию, \( \overline{abc} - \overline{acb} = 72 \).
6. Распишем разность: \( (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72 \)
7. Упростим: \( 10b + c - 10c - b = 72 \)
8. \( 9b - 9c = 72 \)
9. Разделим обе части на 9: \( b - c = 8 \)
10. Так как \( b \) и \( c \) — цифры (от 0 до 9), возможны следующие пары \( (b, c) \): \( (8, 0) \) и \( (9, 1) \).
11. Рассмотрим случай \( c = 0 \). Тогда \( b = 8 \). Число имеет вид \( \overline{a80} \). Оно должно делиться на 15. Число, оканчивающееся на 0, делится на 5. Для делимости на 3 сумма цифр должна делиться на 3: \( a + 8 + 0 = a + 8 \). Если \( a = 7 \), \( 7+8=15 \) (делится на 3). Если \( a = 8 \), \( 8+8=16 \) (не делится на 3). Если \( a = 9 \), \( 9+8=17 \) (не делится на 3). Значит, \( a = 7 \). Получаем число 780. Проверим: 780 > 700, 780 делится на 15 (780 / 15 = 52). Задуманное число 780. Поменяли местами: 708. Вычли: 780 - 708 = 72. Это подходит.
12. Рассмотрим случай \( c = 1 \). Тогда \( b = 9 \). Число имеет вид \( \overline{a91} \). Оно должно делиться на 15. Число, оканчивающееся на 1, не делится на 5, значит, этот случай невозможен.

Ответ: 780.