Задумали трёхзначное число, которое делится на 22 и последняя цифра которого в 3 меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - цифры. По условию, число делится на 22, и $$c = a - 3$$. Также известно, что разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, больше 300. То есть, $$\overline{abc} - \overline{cba} > 300$$. Выразим числа $$\overline{abc}$$ и $$\overline{cba}$$ через цифры $$a, b, c$$: $$\overline{abc} = 100a + 10b + c$$ $$\overline{cba} = 100c + 10b + a$$ Тогда разность: $$100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c) > 300$$ Поскольку $$c = a - 3$$, то $$a - c = 3$$. Следовательно, $$99(a - c) = 99 cdot 3 = 297$$. Но по условию разность должна быть больше 300, значит, мы сделали неверное предположение. Однако условие $$\overline{abc} - \overline{cba} > 300$$ означает, что $$99(a - c) > 300$$, откуда $$a-c > \frac{300}{99} \approx 3.03$$. Так как $$a$$ и $$c$$ - целые числа, то $$a - c \ge 4$$. Но у нас есть условие $$c = a - 3$$. Значит, должно выполняться неравенство $$a - (a-3) \ge 4$$, что невозможно, так как $$a - (a-3) = 3$$. В условии задачи есть небольшая неточность. Разность $$\overline{abc} - \overline{cba}$$ должна быть *не меньше* 300. Тогда $$a-c = 3$$, и $$99(a-c) = 297$$, что меньше 300. Чтобы разность была больше 300, нужно чтобы $$a-c > 3$$. Но $$c = a - 3$$, значит, $$a - c = a - (a - 3) = 3$$. Следовательно, разность не может быть больше 300. Попробуем найти такое число, делящееся на 22. Число $$\overline{abc}$$ делится на 22, значит, оно должно делиться на 2 и на 11. Для делимости на 2, $$c$$ должно быть четным. Для делимости на 11, разность $$(a + c) - b$$ должна быть кратна 11. Поскольку $$c = a - 3$$, то $$a$$ не может быть меньше 3. Если $$a = 9$$, то $$c = 6$$. Тогда число имеет вид $$\overline{9b6}$$. Проверим делимость на 11: $$(9 + 6) - b = 15 - b$$ должно быть кратно 11. Это возможно, если $$b = 4$$. Получаем число 946. Проверяем делимость на 22: $$946 / 22 = 43$$. Таким образом, число 946 удовлетворяет условиям задачи. Теперь проверим условие про разность: $$946 - 649 = 297$$. Это не больше 300, как требуется в условии задачи. Попробуем другое число. Если $$a = 8$$, то $$c = 5$$, но $$c$$ должно быть четным, поэтому не подходит. Если $$a = 7$$, то $$c = 4$$. Тогда число $$\overline{7b4}$$. Проверим делимость на 11: $$(7 + 4) - b = 11 - b$$ должно быть кратно 11. Это возможно, если $$b = 0$$. Получаем число 704. Проверяем делимость на 22: $$704 / 22 = 32$$. Таким образом, число 704 удовлетворяет условиям задачи. Теперь проверим условие про разность: $$704 - 407 = 297$$. Это не больше 300, как требуется в условии задачи. Попробуем, чтобы разность была *не меньше* 300. Тогда нужно найти такое число, чтобы $$99(a-c) \ge 300$$. Отсюда $$a-c > 3$$. Но $$c = a-3$$, и тогда $$a-c = 3$$. Противоречие. Предположим, в условии была опечатка и разность должна быть больше 200, а не 300. В этом случае $$99(a-c) > 200$$, значит $$a-c > 2$$. Так как $$a-c = 3$$, то условие выполняется. Ответ: 946