Задумали трёхзначное число, которое делится на 61 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задума?

Обозначим трехзначное число как $$100a + 10b + c$$, где a, b, c - цифры от 0 до 9, причем $$c = \frac{a}{2}$$. Число делится на 61, а разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, больше 300.

Запишем условие делимости на 61. Так как последняя цифра в 2 раза меньше первой, то первая цифра должна быть четной. Возможные варианты для a: 2, 4, 6, 8.

Тогда возможные значения для c: 1, 2, 3, 4.

Таким образом, трехзначное число имеет вид $$100a + 10b + \frac{a}{2}$$.

Переберем возможные значения a и проверим делимость на 61:

• Если a = 2, то c = 1. Число имеет вид $$200 + 10b + 1 = 201 + 10b$$. Переберем значения b от 0 до 9.
  • Если b = 0, то число 201. 201 / 61 = 3. Подходит. Перевернутое число 102. 201 - 102 = 99. Не подходит, так как разность должна быть больше 300.
• Если a = 4, то c = 2. Число имеет вид $$400 + 10b + 2 = 402 + 10b$$. Переберем значения b от 0 до 9.
  • Если b = 0, то число 402. Не делится на 61.
  • Если b = 1, то число 412. Не делится на 61.
  • Если b = 2, то число 422. Не делится на 61.
  • Если b = 3, то число 432. Не делится на 61.
  • Если b = 4, то число 442. Не делится на 61.
  • Если b = 5, то число 452. Не делится на 61.
  • Если b = 6, то число 462. 462 / 61 = 7.57. Не делится на 61.
  • Если b = 7, то число 472. Не делится на 61.
  • Если b = 8, то число 482. Не делится на 61.
  • Если b = 9, то число 492. Не делится на 61.
• Если a = 6, то c = 3. Число имеет вид $$600 + 10b + 3 = 603 + 10b$$. Переберем значения b от 0 до 9.
  • Если b = 0, то число 603. Не делится на 61.
  • Если b = 1, то число 613. Не делится на 61.
  • Если b = 2, то число 623. Не делится на 61.
  • Если b = 3, то число 633. Не делится на 61.
  • Если b = 4, то число 643. Не делится на 61.
  • Если b = 5, то число 653. Не делится на 61.
  • Если b = 6, то число 663. Не делится на 61.
  • Если b = 7, то число 673. 673 / 61 = 11. Подходит. Перевернутое число 376. 673 - 376 = 297. Не подходит, так как разность должна быть больше 300.
  • Если b = 8, то число 683. Не делится на 61.
  • Если b = 9, то число 693. Не делится на 61.
• Если a = 8, то c = 4. Число имеет вид $$800 + 10b + 4 = 804 + 10b$$. Переберем значения b от 0 до 9.
  • Если b = 0, то число 804. Не делится на 61.
  • Если b = 1, то число 814. Не делится на 61.
  • Если b = 2, то число 824. Не делится на 61.
  • Если b = 3, то число 834. Не делится на 61.
  • Если b = 4, то число 844. Не делится на 61.
  • Если b = 5, то число 854. Не делится на 61.
  • Если b = 6, то число 864. Не делится на 61.
  • Если b = 7, то число 874. Не делится на 61.
  • Если b = 8, то число 884. 884 / 61 = 14.49. Не делится на 61.
  • Если b = 9, то число 894. Не делится на 61.

Тут явно ошибка, трехзначное число должно делиться на 61, а разность быть больше 300.

Рассмотрим число 854. Перевернутое 458. 854-458 = 396.

Рассмотрим число 671. перевернутое 176. 671 - 176 = 495.

Если a = 8, то с = 4. Проверяем числа 8b4. При делении на 61 остаток 0. 854 не делится на 61.

Попробуем число 610. 610/61 = 10. первая цифра 6, последняя 0. 610-016=594.

Попробуем подобрать трехзначное число кратное 61. 61 * 2 = 122. 61 * 3 = 183. 61 * 4 = 244. 61 * 5 = 305. 61 * 6 = 366. 61 * 7 = 427. 61 * 8 = 488. 61 * 9 = 549. 61 * 10 = 610. 61 * 11 = 671. 61 * 12 = 732. 61 * 13 = 793. 61 * 14 = 854. 61 * 15 = 915. 61 * 16 = 976.

Нам нужно чтобы последняя цифра была в два раза меньше первой.

Число 854. 4 это половина 8. 854-458=396>300.

Ответ: 854