Задумали трёхзначное число, которое делится на 12. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число. Найдите все числа, которые могли быть задуманы.

Решение:

Пусть задуманное число имеет вид \( 100a + 10b + c \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — цифры. После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц получаем число \( 100a + 10c + b \). По условию, разность между этими числами равна 36:

Так как число делится на 12, оно должно делиться на 3 и на 4. Это означает, что сумма цифр числа должна делиться на 3, и число, образованное последними двумя цифрами (\( 10b + c \)), должно делиться на 4.

Возможные значения для \( b \) и \( c \) такие, что \( b - c = 4 \):

• \( b = 9 \), \( c = 5 \)
• \( b = 8 \), \( c = 4 \)
• \( b = 7 \), \( c = 3 \)
• \( b = 6 \), \( c = 2 \)
• \( b = 5 \), \( c = 1 \)
• \( b = 4 \), \( c = 0 \)

Проверим каждое из этих значений, чтобы число \( 10b + c \) делилось на 4 и сумма цифр делилась на 3:

• Если \( b = 9 \), \( c = 5 \), то число \( 95 \) не делится на 4.
• Если \( b = 8 \), \( c = 4 \), то число \( 84 \) делится на 4. Сумма цифр \( a + 8 + 4 = a + 12 \) должна делиться на 3. Значит, \( a \) может быть 3, 6 или 9. Числа: 384, 684, 984.
• Если \( b = 7 \), \( c = 3 \), то число \( 73 \) не делится на 4.
• Если \( b = 6 \), \( c = 2 \), то число \( 62 \) не делится на 4.
• Если \( b = 5 \), \( c = 1 \), то число \( 51 \) не делится на 4.
• Если \( b = 4 \), \( c = 0 \), то число \( 40 \) делится на 4. Сумма цифр \( a + 4 + 0 = a + 4 \) должна делиться на 3. Значит, \( a \) может быть 2, 5 или 8. Числа: 240, 540, 840.

Теперь проверим, делятся ли эти числа на 12:

• 384 / 12 = 32
• 684 / 12 = 57
• 984 / 12 = 82
• 240 / 12 = 20
• 540 / 12 = 45
• 840 / 12 = 70

Все числа делятся на 12.

Ответ: 240, 384, 540, 684, 840, 984