Задумали трёхзначное число, которое делится на 28. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 45. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где a, b, и c - цифры. После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц получаем число $$100a + 10c + b$$. По условию, разность между задуманным числом и новым числом равна 45: \[(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 45\]\[9b - 9c = 45\]\[b - c = 5\] Значит, разность между цифрой десятков и цифрой единиц равна 5. Также известно, что задуманное число делится на 28, то есть $$100a + 10b + c$$ делится на 28. Перечислим все возможные пары (b, c), где b - c = 5: (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4) Теперь нужно проверить, какие из чисел вида $$100a + 10b + c$$ делятся на 28, используя эти пары. Проверим числа: 1. Если (b, c) = (5, 0), число имеет вид 100a + 50, то есть 50(2a + 1). Число делится на 28, если 50(2a + 1) = 28k для некоторого целого k. Это условие можно переписать как 25(2a + 1) = 14k. Так как 25 и 14 взаимно простые, то 2a + 1 должно делиться на 14. Но так как a - цифра, то это невозможно. 2. Если (b, c) = (6, 1), число имеет вид 100a + 61. Подберем a, чтобы 100a + 61 делилось на 28. Проверим значения a от 1 до 9. Если a = 1, число 161. 161 / 28 ≈ 5.75 Если a = 2, число 261. 261 / 28 ≈ 9.32 Если a = 3, число 361. 361 / 28 ≈ 12.89 Если a = 4, число 461. 461 / 28 ≈ 16.46 Если a = 5, число 561. 561 / 28 ≈ 20.04 Если a = 6, число 661. 661 / 28 ≈ 23.61 Если a = 7, число 761. 761 / 28 ≈ 27.18 Если a = 8, число 861. 861 / 28 ≈ 30.75 Если a = 9, число 961. 961 / 28 ≈ 34.32 Ни одно из этих чисел не делится на 28. 3. Если (b, c) = (7, 2), число имеет вид 100a + 72. Подберем a, чтобы 100a + 72 делилось на 28. Проверим значения a от 1 до 9. Если a = 1, число 172. 172 / 28 ≈ 6.14 Если a = 2, число 272. 272 / 28 ≈ 9.71 Если a = 3, число 372. 372 / 28 = 13.29 ≈ 13 (не целое) Если a = 4, число 472. 472 / 28 ≈ 16.86 Если a = 5, число 572. 572 / 28 ≈ 20.43 Если a = 6, число 672. 672 / 28 = 24. Значит число 672 подходит. Итак, задуманное число равно 672. Проверим: 672 делится на 28, так как 672 = 28 * 24. Переставляем цифры десятков и единиц: получаем 627. Разность: 672 - 627 = 45. Ответ: 672