Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть задуманное трёхзначное число имеет вид \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — его цифры. Из условия известно:

1. Число \( \overline{abc} \) делится на 13.
2. Последняя цифра в 4 раза меньше первой: \( c = \frac{a}{4} \). Поскольку \( c \) — цифра, \( a \) должно быть кратно 4. Возможные значения для \( a \): 4 или 8.
• Если \( a = 4 \), то \( c = \frac{4}{4} = 1 \). Цифра \( b \) может быть любой от 0 до 9.
• Если \( a = 8 \), то \( c = \frac{8}{4} = 2 \). Цифра \( b \) может быть любой от 0 до 9.
3. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, это \( \overline{cba} \).
4. Разность \( \overline{abc} - \overline{cba} < 400 \).

Рассмотрим первый случай: \( a = 4, c = 1 \). Число имеет вид \( \overline{4b1} \). Обратное число — \( \overline{1b4} \).

\( \overline{4b1} - \overline{1b4} = (400 + 10b + 1) - (100 + 10b + 4) = 401 + 10b - 104 - 10b = 297 \).

Разность \( 297 \) меньше \( 400 \). Теперь проверим, делится ли число \( \overline{4b1} \) на 13. Переберём возможные значения \( b \):

• \( b = 0 \): 401. \( 401 : 13 = 30 \) с остатком 11.
• \( b = 1 \): 411. \( 411 : 13 = 31 \) с остатком 8.
• \( b = 2 \): 421. \( 421 : 13 = 32 \) с остатком 5.
• \( b = 3 \): 431. \( 431 : 13 = 33 \) с остатком 2.
• \( b = 4 \): 441. \( 441 : 13 = 33 \) с остатком 12.
• \( b = 5 \): 451. \( 451 : 13 = 34 \) с остатком 9.
• \( b = 6 \): 461. \( 461 : 13 = 35 \) с остатком 6.
• \( b = 7 \): 471. \( 471 : 13 = 36 \) с остатком 3.
• \( b = 8 \): 481. \( 481 : 13 = 37 \). Число 481 делится на 13.
• \( b = 9 \): 491. \( 491 : 13 = 37 \) с остатком 10.

Итак, в первом случае подходит число 481.

Рассмотрим второй случай: \( a = 8, c = 2 \). Число имеет вид \( \overline{8b2} \). Обратное число — \( \overline{2b8} \).

\( \overline{8b2} - \overline{2b8} = (800 + 10b + 2) - (200 + 10b + 8) = 802 + 10b - 208 - 10b = 594 \).

Разность \( 594 \) больше \( 400 \), что противоречит условию. Значит, этот случай нам не подходит.

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — 481.

Ответ: 481.