Контрольные задания > Задумали трёхзначное число, которое делится на 26 и последняя цифра которого в 2 меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 200. Какое число было задумано?
Вопрос:

Задумали трёхзначное число, которое делится на 26 и последняя цифра которого в 2 меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 200. Какое число было задумано?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Для решения задачи необходимо составить систему уравнений, учитывая условия делимости числа на 26, соотношение первой и последней цифр, а также результат вычитания числа с обратным порядком цифр.

Пошаговое решение:

  1. Пусть задуманное трёхзначное число будет представлено как \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, \( c \) — третья.
  2. По условию, число делится на 26.
  3. Последняя цифра \( c \) на 2 меньше первой \( a \), то есть \( c = a - 2 \).
  4. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно \( 100c + 10b + a \).
  5. Разность между задуманным числом и числом с обратным порядком цифр меньше 200: \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) < 200 \).
  6. Упростим разность: \( 99a - 99c < 200 \), что означает \( 99(a - c) < 200 \).
  7. Подставим \( c = a - 2 \) в последнее неравенство: \( 99(a - (a - 2)) < 200 \) => \( 99(2) < 200 \) => \( 198 < 200 \). Это условие всегда выполняется.
  8. Теперь вернемся к условию делимости на 26. Возможные значения \( a \) (первая цифра трёхзначного числа) — от 1 до 9. \( c = a - 2 \), поэтому \( c \) может быть от 0 до 7.
  9. Рассмотрим числа, кратные 26, которые удовлетворяют условию \( c = a - 2 \).
  10. Перечислим кратные 26: 26, 52, 78, 104, 130, 156, 182, 208, 234, 260, 286, 312, 338, 364, 390, 416, 442, 468, 494, 520, 546, 572, 598, 624, 650, 676, 702, 728, 754, 780, 806, 832, 858, 884, 910, 936, 962, 988.
  11. Проверяем числа, где последняя цифра на 2 меньше первой:
    • Число 416: \( a=4, c=6 \). \( c eq a-2 \).
    • Число 442: \( a=4, c=2 \). \( c = a - 2 \). Проверяем число 442. Обратное число 244. Разность \( 442 - 244 = 198 \). \( 198 < 200 \). Условие выполняется.
    • Число 650: \( a=6, c=0 \). \( c eq a-2 \).
    • Число 676: \( a=6, c=6 \). \( c eq a-2 \).
    • Число 728: \( a=7, c=8 \). \( c eq a-2 \).
    • Число 754: \( a=7, c=4 \). \( c = a - 2 \). Проверяем число 754. Обратное число 457. Разность \( 754 - 457 = 297 \). \( 297 ot< 200 \).
    • Число 936: \( a=9, c=6 \). \( c = a - 2 \). Проверяем число 936. Обратное число 639. Разность \( 936 - 639 = 297 \). \( 297 ot< 200 \).
    • Число 962: \( a=9, c=2 \). \( c eq a-2 \).
  12. Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — 442.

Ответ: 442

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю