Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть задуманное трёхзначное число будет представлено как 100a + 10b + c, где a, b, c — цифры этого числа. По условию, оно делится на 37.
2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет 100c + 10b + a.
3. По условию, последняя цифра (c) меньше первой (a), то есть c < a.
4. Разность между задуманным числом и числом в обратном порядке равна 300. Запишем уравнение:

\[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) > 300 \]

5. Упростим уравнение:

\[100a + 10b + c - 100c - 10b - a > 300 \]

\[99a - 99c > 300 \]

\[99(a - c) > 300 \]

\[a - c > \frac{300}{99} \]

\[a - c > 3.03 \]

6. Так как a и c — цифры, то их разность (a - c) может быть только целым числом. Следовательно, a - c должно быть не меньше 4.
7. Также по условию, задуманное число делится на 37. Перечислим трёхзначные числа, кратные 37:

• 37 * 3 = 111
• 37 * 4 = 148
• 37 * 5 = 185
• ...
• 37 * 10 = 370
• ...
• 37 * 27 = 999

7. Проверим условия для каждого числа. Нам нужно найти трёхзначное число, которое делится на 37, в котором последняя цифра (c) меньше первой (a), и разность с числом, записанным в обратном порядке, больше 300.
8. Рассмотрим число 37 * 15 = 555. Здесь a = 5, c = 5. Условие c < a не выполнено.
9. Рассмотрим число 37 * 18 = 666. Здесь a = 6, c = 6. Условие c < a не выполнено.
10. Рассмотрим число 37 * 19 = 703. Здесь a = 7, c = 3. Условие c < a выполнено (3 < 7). Проверим разность:

\[703 - 307 = 396 \]

396 > 300. Условие выполнено.

11. Рассмотрим число 37 * 20 = 740. Здесь a = 7, c = 0. Условие c < a выполнено (0 < 7). Проверим разность:

\[740 - 047 = 740 - 47 = 693 \]

693 > 300. Условие выполнено.

12. Рассмотрим число 37 * 23 = 851. Здесь a = 8, c = 1. Условие c < a выполнено (1 < 8). Проверим разность:

\[851 - 158 = 693 \]

693 > 300. Условие выполнено.

13. Рассмотрим число 37 * 24 = 888. Здесь a = 8, c = 8. Условие c < a не выполнено.
14. Рассмотрим число 37 * 25 = 925. Здесь a = 9, c = 5. Условие c < a выполнено (5 < 9). Проверим разность:

\[925 - 529 = 396 \]

396 > 300. Условие выполнено.

15. Рассмотрим число 37 * 26 = 962. Здесь a = 9, c = 2. Условие c < a выполнено (2 < 9). Проверим разность:

\[962 - 269 = 693 \]

693 > 300. Условие выполнено.

16. Теперь нужно выбрать единственное число. Обратим внимание на условие: «Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке». Это подразумевает, что цифры в задуманном числе должны быть разными, если мы вычитаем число, записанное в обратном порядке. Если цифры одинаковы, например 555, то 555 - 555 = 0, что не больше 300.
17. Из полученных вариантов (703, 740, 851, 925, 962) удовлетворяют всем условиям:

• 703: делится на 37, 3 < 7, 703 - 307 = 396 > 300
• 740: делится на 37, 0 < 7, 740 - 47 = 693 > 300
• 851: делится на 37, 1 < 8, 851 - 158 = 693 > 300
• 925: делится на 37, 5 < 9, 925 - 529 = 396 > 300
• 962: делится на 37, 2 < 9, 962 - 269 = 693 > 300

17. Если бы цифры были одинаковы, например 555, то 555 - 555 = 0, что меньше 300.
18. Перепроверим условия: