Задумали трёхзначное число, которое делится на 9 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Найдите все числа, которые могли быть задуманы.

Пошаговое решение:

1. Пусть задуманное трёхзначное число будет представлено как 100a + 10b + c, где a, b, c — цифры, a ≠ 0, c ≠ 0.
2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет 100c + 10b + a.
3. По условию задачи, задуманное число делится на 9. Это означает, что сумма его цифр (a + b + c) делится на 9.
4. Из задуманного числа вычли число, записанное в обратном порядке, и получили 693:
   (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693
5. Упростим уравнение:
   100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693
   99a - 99c = 693
   99(a - c) = 693
6. Разделим обе части уравнения на 99:
   a - c = 693 / 99
   a - c = 7
7. Теперь у нас есть два условия:
   1. a + b + c делится на 9
   2. a - c = 7
8. Так как a и c — цифры от 1 до 9 (c ≠ 0), рассмотрим возможные пары (a, c), удовлетворяющие условию a - c = 7:
   
   • Если c = 1, то a = 1 + 7 = 8. Пара (8, 1).
   • Если c = 2, то a = 2 + 7 = 9. Пара (9, 2).
9. Теперь подставим эти пары в первое условие (a + b + c делится на 9) и найдём b:
   
   • Для пары (a=8, c=1):
     8 + b + 1 = 9 + b.
     Чтобы 9 + b делилось на 9, b должно быть равно 0 или 9.
     Если b = 0, число — 801. Проверка: 801 - 108 = 693. 801 делится на 9 (8+0+1=9).
     Если b = 9, число — 891. Проверка: 891 - 198 = 693. 891 делится на 9 (8+9+1=18).
   • Для пары (a=9, c=2):
     9 + b + 2 = 11 + b.
     Чтобы 11 + b делилось на 9, b должно быть равно 7 (11 + 7 = 18).
     Если b = 7, число — 972. Проверка: 972 - 279 = 693. 972 делится на 9 (9+7+2=18).

Ответ: 801, 891, 972