17. Задумали трёхзначное число, которое меньше 500, делится на 49 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 297. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид \( \overline{abc} \), где a, b и c - цифры, причем \( a
e 0 \) и \( c
e 0 \). Тогда задуманное число можно представить как \( 100a + 10b + c \), а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, как \( 100c + 10b + a \). По условию задачи, разность между задуманным числом и числом, записанным в обратном порядке, равна 297: \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 297 \) Упростим это уравнение: \( 99a - 99c = 297 \) Разделим обе части уравнения на 99: \( a - c = 3 \) Из этого следует, что \( a = c + 3 \). Также известно, что задуманное число меньше 500 и делится на 49. Значит, \( 100 \le 100a + 10b + c < 500 \). По условию, число делится на 49, поэтому нужно найти такое трехзначное число, которое удовлетворяет этим условиям. Т.к. \( a = c + 3 \), то \( a \) может принимать значения от 3 до 4, \( c \) - от 1 до 6. Проверим все возможные трехзначные числа, делящиеся на 49 и начинающиеся на цифры 3 и 4. Числа, начинающиеся на 3: 343, 392 Числа, начинающиеся на 4: 441, 490 Из них подходят числа 343 (где a = 3 и c = 3 - не подходит, т.к. a - c = 3) и 441 (a = 4 и c = 1, что удовлетворяет a - c = 3). Также подходит число 490 (a = 4 и c = 0, но c не может быть равно 0 по условию). Проверим число 441: \( 441 - 144 = 297 \) Таким образом, задуманное число - 441. Ответ: 441