Задумали трёхзначное число, которое меньше 800, делится на 28 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 495. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - цифры. Тогда $$a < 8$$ и $$c
eq 0$$. Согласно условию, $$\overline{abc} - \overline{cba} = 495$$. Разложим числа по разрядам: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495$$ $$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495$$ $$99a - 99c = 495$$ $$99(a-c) = 495$$ $$a - c = \frac{495}{99} = 5$$ Итак, $$a - c = 5$$, то есть $$a = c + 5$$. Так как $$a < 8$$, то возможные значения для $$c$$: 1, 2. Если $$c = 1$$, то $$a = 1 + 5 = 6$$. Если $$c = 2$$, то $$a = 2 + 5 = 7$$. Таким образом, задуманное число имеет вид $$\overline{6b1}$$ или $$\overline{7b2}$$. Также известно, что число делится на 28. Это означает, что число должно делится на 4 и на 7. Рассмотрим случай $$\overline{6b1}$$. Чтобы число $$\overline{6b1}$$ делилось на 4, необходимо, чтобы число $$\overline{b1}$$ делилось на 4. Возможные значения $$b$$: 1, 3, 5, 7, 9. Таким образом, числа имеют вид 611, 631, 651, 671, 691. Проверим, какие из них делятся на 7. $$611 \div 7 = 87$$ (ост. 2), $$631 \div 7 = 90$$ (ост. 1), $$651 \div 7 = 93$$. Значит, число 651 подходит. Рассмотрим случай $$\overline{7b2}$$. Чтобы число $$\overline{7b2}$$ делилось на 4, необходимо, чтобы число $$\overline{b2}$$ делилось на 4. Возможные значения $$b$$: 1, 3, 5, 7, 9. Таким образом, числа имеют вид 712, 732, 752, 772, 792. Проверим, какие из них делятся на 7. $$712 \div 7 = 101$$ (ост. 5), $$732 \div 7 = 104$$ (ост. 4), $$752 \div 7 = 107$$ (ост. 3), $$772 \div 7 = 110$$ (ост. 2), $$792 \div 7 = 113$$ (ост. 1). Ни одно из этих чисел не делится на 7. Следовательно, единственное число, удовлетворяющее всем условиям, это 651. Ответ: 651