Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$abc$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда задуманное число можно представить как $$100a + 10b + c$$. После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц получили число $$100a + 10c + b$$. Из условия задачи известно, что разность между задуманным числом и числом с переставленными цифрами равна 63, то есть:

$$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63$$

Упростим уравнение:

$$100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 63$$

$$9b - 9c = 63$$

Разделим обе части уравнения на 9:

$$b - c = 7$$

Также известно, что задуманное число делится на 15, то есть оно делится и на 3, и на 5. Значит, последняя цифра $$c$$ должна быть либо 0, либо 5. Поскольку $$b - c = 7$$, рассмотрим оба варианта для $$c$$:

1) Если $$c = 0$$, то $$b = 7$$. 2) Если $$c = 5$$, то $$b = 12$$, что невозможно, так как $$b$$ - это цифра, и она должна быть от 0 до 9.

Таким образом, остается только вариант $$c = 0$$ и $$b = 7$$. Тогда задуманное число имеет вид $$a70$$. Число должно быть меньше 500, следовательно, $$a$$ может быть 1, 2, 3 или 4. Также число должно делиться на 15. Проверим возможные варианты:

1) Если $$a = 1$$, то число 170 не делится на 15. 2) Если $$a = 2$$, то число 270 делится на 15: $$270 ∶ 15 = 18$$. Следовательно, число 270 подходит.

3) Если $$a = 3$$, то число 370 не делится на 15.

4) Если $$a = 4$$, то число 470 не делится на 15.

Таким образом, единственное подходящее число - 270.

Проверим. Если поменять местами цифры 7 и 0, получится число 207. Вычтем из 270 число 207: $$270 - 207 = 63$$. Все условия выполнены.

Ответ: 270