Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем цифры десятков и единиц поменяли местами и полученное число вычли из задуманного. Получили число 54. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть задуманное трёхзначное число будет представлено как \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — цифра сотен, \( b \) — цифра десятков, \( c \) — цифра единиц.

По условию, число меньше 500, значит \( a \) может быть 1, 2, 3 или 4.

Также, число делится на 15, что означает, что оно делится на 3 и на 5. Следовательно, \( c \) должно быть 0 или 5, а сумма цифр \( a + b + c \) должна делиться на 3.

Если поменять местами цифры десятков и единиц, получится число \( 100a + 10c + b \).

Разность между задуманным числом и полученным равна 54:

\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 54 \]

\[ 10b + c - 10c - b = 54 \]

\[ 9b - 9c = 54 \]

\[ 9(b - c) = 54 \]

\[ b - c = 6 \]

Теперь рассмотрим возможные значения \( b \) и \( c \), учитывая, что \( b \) и \( c \) — это цифры (от 0 до 9).

Возможные пары \( (b, c) \) такие, что \( b - c = 6 \):

• Если \( c = 0 \), то \( b = 6 \).
• Если \( c = 1 \), то \( b = 7 \).
• Если \( c = 2 \), то \( b = 8 \).
• Если \( c = 3 \), то \( b = 9 \).

Теперь учтем условие, что число делится на 5, то есть \( c \) может быть 0 или 5.

Из наших пар \( (b, c) \) только \( c=0 \) подходит под условие делимости на 5. Значит, \( c = 0 \) и \( b = 6 \).

Итак, число имеет вид \( 100a + 10(6) + 0 = 100a + 60 \).

Теперь проверим условие делимости на 3. Сумма цифр \( a + b + c = a + 6 + 0 = a + 6 \) должна делиться на 3.

Так как \( a \) — цифра сотен, она может быть 1, 2, 3, 4 (по условию, число меньше 500).

• Если \( a = 1 \), то \( 1 + 6 = 7 \) (не делится на 3).
• Если \( a = 2 \), то \( 2 + 6 = 8 \) (не делится на 3).
• Если \( a = 3 \), то \( 3 + 6 = 9 \) (делится на 3).
• Если \( a = 4 \), то \( 4 + 6 = 10 \) (не делится на 3).

Следовательно, \( a = 3 \).

Задуманное число: \( 100a + 10b + c = 100(3) + 10(6) + 0 = 360 \).

Проверка:

• Число 360 меньше 500.
• Число 360 делится на 15 (360 / 15 = 24).
• Если поменять местами цифры десятков (6) и единиц (0), получится число 306.
• Вычтем полученное число из задуманного: \( 360 - 306 = 54 \). Условие выполнено.

Ответ: 360.