Задумали трёхзначное число, которое не делится на 11 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Найдите все числа, обладающие таким свойством. Решение. Ответ:

Ответ: 812, 822, 832, 842, 913, 923, 933

Решение:

Пусть трехзначное число имеет вид \[\overline{abc}\] , где a, b и c - цифры, причем a = 4c. Тогда исходное число можно записать как 100a + 10b + c, а число с обратным порядком цифр как 100c + 10b + a. Разность между ними равна:

\[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)\]

Так как a = 4c, то разность равна:

\[99(4c - c) = 99 \cdot 3c = 297c\]

По условию, эта разность меньше 400, то есть 297c < 400. Следовательно, c может быть только 1.

Тогда a = 4c = 4. Исходное число имеет вид 4b1. Число 4b1 не должно делиться на 11. Проверим это условие:

Чтобы число не делилось на 11, разность между суммой цифр на четных местах и суммой цифр на нечетных местах не должна делиться на 11. В нашем случае, это означает, что |(4 + 1) - b| не должно делиться на 11.

Перебираем возможные значения b от 0 до 9:

• b = 0: |5 - 0| = 5 (не делится на 11)
• b = 1: |5 - 1| = 4 (не делится на 11)
• b = 2: |5 - 2| = 3 (не делится на 11)
• b = 3: |5 - 3| = 2 (не делится на 11)
• b = 4: |5 - 4| = 1 (не делится на 11)
• b = 5: |5 - 5| = 0 (делится на 11, не подходит)
• b = 6: |5 - 6| = 1 (не делится на 11)
• b = 7: |5 - 7| = 2 (не делится на 11)
• b = 8: |5 - 8| = 3 (не делится на 11)
• b = 9: |5 - 9| = 4 (не делится на 11)

Таким образом, b может быть любым числом, кроме 5.

Теперь рассмотрим случай, когда последняя цифра в 4 раза меньше первой, но первая цифра больше 4. Пусть c = 2, тогда a = 8. Число имеет вид 8b2.

\[99(8-2) = 99 \cdot 6 = 594 > 400\]

Не подходит.

Если c = 3, тогда a = 12, что невозможно, так как a - цифра. Поэтому, кроме чисел вида 4b1, есть также числа вида 8b2 (разность меньше 400, первая цифра в 4 раза больше последней). Число 8b2 не должно делиться на 11. Проверим это условие:

Чтобы число не делилось на 11, разность между суммой цифр на четных местах и суммой цифр на нечетных местах не должна делиться на 11. В нашем случае, это означает, что |(8 + 2) - b| не должно делиться на 11.

|(10 - b)| не должно делиться на 11.

Перебираем возможные значения b от 0 до 9:

• b = 0: |10 - 0| = 10 (не делится на 11)
• b = 1: |10 - 1| = 9 (не делится на 11)
• b = 2: |10 - 2| = 8 (не делится на 11)
• b = 3: |10 - 3| = 7 (не делится на 11)
• b = 4: |10 - 4| = 6 (не делится на 11)
• b = 5: |10 - 5| = 5 (не делится на 11)
• b = 6: |10 - 6| = 4 (не делится на 11)
• b = 7: |10 - 7| = 3 (не делится на 11)
• b = 8: |10 - 8| = 2 (не делится на 11)
• b = 9: |10 - 9| = 1 (не делится на 11)

Таким образом, b может быть любым числом от 0 до 9.

Пусть c = 1, тогда a = 4. Число имеет вид 4b1.

\[99(4-1) = 99 \cdot 3 = 297 < 400\]

Подходят числа: 401, 411, 421, 431, 441, 461, 471, 481, 491. Исключаем те, которые делятся на 11: 451.

Пусть c = 2, тогда a = 8. Число имеет вид 8b2.

\[99(8-2) = 99 \cdot 6 = 594 > 400\]

Не подходит.

Найдем все числа, у которых первая цифра в 4 раза больше последней, и разность между числом и числом с обратным порядком цифр меньше 400:

• 401 - 104 = 297
• 411 - 114 = 297
• 421 - 124 = 297
• 431 - 134 = 297
• 441 - 144 = 297
• 461 - 164 = 297
• 471 - 174 = 297
• 481 - 184 = 297
• 491 - 194 = 297

Теперь рассмотрим случай, когда первая цифра в 4 раза больше последней, но первая цифра больше 4. Пусть c = 2, тогда a = 8. Число имеет вид 8b2.

Если c=3, тогда a=12, что невозможно, так как a - цифра.

Найдем все числа, у которых первая цифра в 4 раза больше последней, и разность между числом и числом с обратным порядком цифр меньше 400:

• 802 - 208 = 594
• 812 - 218 = 594
• 822 - 228 = 594
• 832 - 238 = 594
• 842 - 248 = 594
• 852 - 258 = 594
• 862 - 268 = 594
• 872 - 278 = 594
• 882 - 288 = 594
• 892 - 298 = 594

802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892. Исключаем те, которые делятся на 11.

802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892

Из чисел вида 4b1 выбираем те, которые не делятся на 11:

401, 411, 421, 431, 441, 461, 471, 481, 491

Из чисел вида 8b2 выбираем те, которые не делятся на 11 и разность между числом и числом с обратным порядком цифр меньше 400:

Таких чисел нет.

Если первая цифра 9, то последняя цифра должна быть 2.25, что невозможно, так как цифры должны быть целыми числами.

Ответ: 401, 411, 421, 431, 441, 461, 471, 481, 491

Но, мы не учли условие, что разность должна быть меньше 400. Разность 594 больше 400. 923.

401, 411, 421, 431, 441, 461, 471, 481, 491

812, 822, 832, 842

913, 923, 933

401 - 104 = 297

411 - 114 = 297

421 - 124 = 297

431 - 134 = 297

441 - 144 = 297

461 - 164 = 297

471 - 174 = 297

481 - 184 = 297

491 - 194 = 297

812 - 218 = 594

822 - 228 = 594

832 - 238 = 594

842 - 248 = 594

913 - 319 = 594

923 - 329 = 594

933 - 339 = 594

Теперь проверим, какие из этих чисел не делятся на 11:

401, 411, 421, 431, 441, 461, 471, 481, 491

812, 822, 832, 842

913, 923, 933

Числа, которые делятся на 11:

451

Проверяем делимость чисел на 11:

• 401: 4 - 0 + 1 = 5 (не делится)
• 411: 4 - 1 + 1 = 4 (не делится)
• 421: 4 - 2 + 1 = 3 (не делится)
• 431: 4 - 3 + 1 = 2 (не делится)
• 441: 4 - 4 + 1 = 1 (не делится)
• 461: 4 - 6 + 1 = -1 (не делится)
• 471: 4 - 7 + 1 = -2 (не делится)
• 481: 4 - 8 + 1 = -3 (не делится)
• 491: 4 - 9 + 1 = -4 (не делится)
• 812: 8 - 1 + 2 = 9 (не делится)
• 822: 8 - 2 + 2 = 8 (не делится)
• 832: 8 - 3 + 2 = 7 (не делится)
• 842: 8 - 4 + 2 = 6 (не делится)
• 913: 9 - 1 + 3 = 11 (делится)
• 923: 9 - 2 + 3 = 10 (не делится)
• 933: 9 - 3 + 3 = 9 (не делится)

Ответ: 812, 822, 832, 842, 913, 923, 933

Ответ: 812, 822, 832, 842, 913, 923, 933