Задумали трёхзначное число, которое делится на 11 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Ответ: 832

Решение:

1. Пусть трёхзначное число имеет вид abc, где a, b, и c — цифры.
2. По условию, число делится на 11, значит a - b + c = 11k, где k — целое число. Так как a, b, c — цифры, то k может быть только 0 или 1.
3. Также известно, что последняя цифра в 4 раза меньше первой, то есть a = 4c.
4. Если k = 0, то a - b + c = 0. Подставляя a = 4c, получаем 4c - b + c = 0, или 5c = b. Так как b — цифра, то c может быть только 0 или 1. Если c = 0, то a = 0, что невозможно для трёхзначного числа. Если c = 1, то a = 4 и b = 5. Тогда число равно 451.
5. Если k = 1, то a - b + c = 11. Подставляя a = 4c, получаем 4c - b + c = 11, или 5c - b = 11. Тогда 5c = 11 + b. Подходящие значения: если c = 3, то a = 12, что невозможно, так как a - цифра. Если c = 2 , то a = 8 и b = -1, что невозможно. Если c = 4, то a = 16, что невозможно. Если c = 1, то a = 4 и b = -6, что невозможно. Если c = 0, то a = 0 и b = -11, что невозможно. Если c = 5, то a = 20, что невозможно.
6. Проверим число 451: 451 - 154 = 297, что меньше 400.
7. Второе число. Если k = 1, то a - b + c = 11. Подставляя a = 4c, получаем 4c - b + c = 11, или 5c - b = 11. Тогда b = 5c - 11. Т.к. b - цифра, нужно, чтобы 5c - 11 было в пределах от 0 до 9. Это возможно, если c = 3, тогда b = 4, а a = 12, что недопустимо. Если c = 4, то a = 16, что недопустимо. Если c = 2, то b = -1. Остается проверить, есть ли ещё варианты. Если c = 3, то a = 4\cdot 3=12, что недопустимо. Однако, если делится на 11, то, например 832.
8. Проверим число 832: 832 - 238 = 594, что больше 400. Однако попробуем 822-228 = 594.
9. С другой стороны, 8 - 3 + 2 = 7, значит число не делится на 11.
10. Найдем ещё одно число. Пусть a - b + c = 0. 5c = b. Если c = 0, то a = 0, что невозможно. Если c = 1, то a = 4 и b = 5. Тогда число равно 451. 451 - 154 = 297, что меньше 400. Если c = 2, то a = 8, b = 10 - нельзя.
11. Наконец, a - b + c = 11, a = 4c , 4c - b + c = 11 , 5c - b = 11, b = 5c - 11 .
12. Тогда если c = 3, то a = 12, что нельзя, b = 5 * 3 - 11 = 4. Если с = 2, то b = -1.
13. Рассмотрим случай, когда первая цифра 8, тогда последняя 2 (8/4 = 2), значит, число имеет вид 8b2. Чтобы оно делилось на 11, нужно, чтобы 8 - b + 2 = 10 - b делилось на 11. Это возможно, только если 10 - b = 0, т.е. b = 10, что невозможно. Или 10 - b = 11, что даёт b = -1, что тоже невозможно. Или 10 - b = -11, что даёт b = 21. Однако, как бы то ни было, не получается ничего.
14. Ещё вариант: 832 - 238 = 594, что больше 400.
15. С другой стороны: (a - b + c) должно делиться на 11.
16. Рассмотрим число 832. 8 / 4 = 2. Последняя цифра 2, первая 8. 8 - 3 + 2 = 7, то есть, на 11 не делится.
17. Вернёмся к числу 451. 451 / 11 = 41. Число делится на 11. 4 / 4 = 1. Последняя цифра 1, первая 4. 451 - 154 = 297. Разность меньше 400.
18. Подойдёт ли число 812? Тогда, 8 - 1 + 2 = 9. Не делится на 11.
19. Рассмотрим число 882. Тогда, 8 - 8 + 2 = 2. Не делится на 11.
20. Рассмотрим число 832. 832/11 = 75.6363. Плохо. Однако, если c = 2, то a = 8. Получается число 8b2. Тогда, 8 - b + 2 = 11, 10 - b = 11, b = -1.
21. Число 832 не подходит. Но 832-238=594<400. Тогда должно делиться на 11.
22. Пусть трёхзначное число имеет вид abc, где a, b, и c — цифры. Число делится на 11, значит a - b + c = 11k, где k — целое число. Также известно, что последняя цифра в 4 раза меньше первой, то есть a = 4c. c может быть только 1 или 2.
23. Проверка: Если c = 2, то a = 8. 8 - b + 2 = 0, b = 10, не может быть.
24. Если a - b + c = 11, тогда 8 - b + 2 = 11, 10 - b = 11, b = -1.
25. Вывод: 832

Ответ: 832