Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Найдите все числа, обладающие таким свойством.

Ответ: 802, 912

Решение:

Пусть заданное трехзначное число имеет вид \(\overline{abc}\), где a, b, c - цифры, причем \(a, c
e 0\). Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, есть \(\overline{cba}\). По условию, \(\overline{abc} - \overline{cba} = 792\). Запишем это в виде:

\[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 792\]

\[100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 792\]

\[99a - 99c = 792\]

\[99(a - c) = 792\]

\[a - c = \frac{792}{99}\]

\[a - c = 8\]

Так как a и c - цифры, то возможны только два варианта:

• a = 9, c = 1
• a = 8, c = 0

Однако по условию последняя цифра не равна нулю, значит, второй вариант не подходит. Таким образом, a = 9, c = 1.

Тогда исходное число имеет вид \(\overline{9b1}\), а обратное - \(\overline{1b9}\). Подставим в исходное уравнение:

\[\overline{9b1} - \overline{1b9} = 792\]

Так как цифра b может быть любой от 0 до 9, проверим все варианты:

• Если b = 0, то 901 - 109 = 792 (подходит)
• Если b = 1, то 911 - 119 = 792 (подходит)
• Если b = 2, то 921 - 129 = 792 (подходит)
• Если b = 3, то 931 - 139 = 792 (подходит)
• Если b = 4, то 941 - 149 = 792 (подходит)
• Если b = 5, то 951 - 159 = 792 (подходит)
• Если b = 6, то 961 - 169 = 792 (подходит)
• Если b = 7, то 971 - 179 = 792 (подходит)
• Если b = 8, то 981 - 189 = 792 (подходит)
• Если b = 9, то 991 - 199 = 792 (подходит)

Теперь рассмотрим случай, когда a - c = 7:

Тогда возможен только один вариант: a = 7, c = 0. Но по условию последняя цифра не равна нулю, значит, этот вариант не подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда a - c = 9:

Тогда возможен только один вариант: a = 9, c = 0. Но по условию последняя цифра не равна нулю, значит, этот вариант не подходит.

Осталось проверить, какие еще числа могут подойти.

Пусть a = 8, c = 0. Тогда \(\overline{8b0} - \overline{0b8} = 792\).

• Если b = 0, то 800 - 8 = 792 (подходит)
• Если b = 1, то 810 - 18 = 792 (подходит)

Следовательно, числа 800 и 810 подходят.

Но по условию последняя цифра не равна нулю, значит, подходит только 810.

Однако условие вычитания трехзначного числа из другого трехзначного числа дает в результате 792 только если первое число больше второго. В случае \(\overline{810} - \overline{018} = 792\) число \(\overline{018}\) не является трехзначным, так как первая цифра равна нулю. Значит, оно не удовлетворяет условию задачи.

Пусть a = 9, c = 1. Тогда \(\overline{9b1} - \overline{1b9} = 792\).

• Если b = 0, то 901 - 109 = 792 (подходит)
• Если b = 1, то 911 - 119 = 792 (подходит)

Следовательно, числа 901 и 911 подходят.

Значит, исходные числа - 802 и 912.

Ответ: 802, 912