Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумали?

Решение:

Пусть задуманное двузначное число равно \( x \). Число \( x \) делится на 5, значит, оно заканчивается на 0 или 5. Так как число двузначное, \( x \) не может быть 0. Следовательно, \( x \) заканчивается на 5.

Когда к числу \( x \) справа приписали это же число ещё раз, получилось четырёхзначное число. Это число можно представить как \( 100x + x = 101x \).

По условию, это четырёхзначное число делится на 11. Значит, \( 101x \) делится на 11.

Проверим делимость 101 на 11: \( 101 \div 11 = 9 \) с остатком 2. Значит, \( 101x \) делится на 11 тогда и только тогда, когда \( x \) делится на 11.

Мы знаем, что \( x \) — двузначное число, которое делится на 5 и заканчивается на 5. Среди двузначных чисел, кратных 11, только 55 подходит под условие, что оно заканчивается на 5.

Проверим: Если задумано число 55, то полученное четырёхзначное число будет 5555.

Проверим делимость 5555 на 11: \( 5555 \div 11 = 505 \). Число делится на 11.

Также число 55 делится на 5.

Следовательно, задуманное число — 55.

Ответ: 55.