Задумано двузначное число, которое делится на 6. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно $$x$$. Тогда четырёхзначное число можно представить как $$100x + x = 101x$$.
По условию, $$x$$ делится на 6, то есть $$x = 6k$$ для некоторого целого $$k$$.
Также, $$101x$$ делится на 11. Подставим $$x=6k$$: $$101 imes 6k = 606k$$.
Проверим делимость $$606k$$ на 11: $$606k / 11 = 55.09k$$. Это не всегда целое число.
Переформулируем четырёхзначное число: если двузначное число $$ab$$ (где $$a$$ - десятки, $$b$$ - единицы), то число $$abab$$. Это равно $$1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b)$$.
Задуманное число $$x = 10a + b$$. Четырёхзначное число равно $$101x$$.
По условию, $$x$$ делится на 6, и $$101x$$ делится на 11.
Так как 101 не делится на 11, то $$x$$ должно делиться на 11.
Итак, $$x$$ должно делиться и на 6, и на 11. Наименьшее общее кратное 6 и 11 равно 66.
Двузначные числа, кратные 66: 66.
Проверим: $$x=66$$. $$66$$ делится на 6. Четырёхзначное число: 6666. $$6666 / 11 = 606$$.
Ответ: 66.