Задумано двузначное число, которое делится на 7. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

Пусть задуманное двузначное число равно $$x$$. Тогда четырёхзначное число можно представить как $$100x + x = 101x$$.
По условию, $$x$$ делится на 7, то есть $$x = 7k$$ для некоторого целого $$k$$.
Четырёхзначное число $$101x$$ делится на 11. Подставим $$x = 7k$$: $$101 imes 7k = 707k$$.
Проверим делимость $$707k$$ на 11. $$707 = 11 imes 64 + 3$$. Значит, $$707k$$ делится на 11, если $$k$$ делится на 11. Пусть $$k = 11m$$.
Тогда $$x = 7k = 7 imes 11m = 77m$$.
Так как $$x$$ — двузначное число, $$m$$ может быть только 1. Следовательно, $$x = 77$$.
Проверка: 77 делится на 7. Число 7777 делится на 11 ($$7777 = 11 imes 707$$).
Ответ: 77