Задумано двузначное число, которое делится на 7. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

Решение:

Пусть задуманное двузначное число равно \( x \). Это число делится на 7, то есть \( x = 7k \) для некоторого целого \( k \).

Когда к числу \( x \) справа приписали это же число ещё раз, получилось четырёхзначное число. Это можно представить как \( 100x + x \), что равно \( 101x \).

По условию, это четырёхзначное число делится на 11. Значит, \( 101x \) делится на 11.

Подставим \( x = 7k \) в выражение \( 101x \): \( 101 \cdot (7k) = 707k \).

Теперь проверим делимость \( 707k \) на 11.

Разделим 707 на 11: \( 707 \div 11 = 64 \) с остатком 3. Это значит, что \( 707 \) не делится на 11.

Рассмотрим делимость \( 101x \) на 11. Так как 101 не делится на 11 (101 = 9 * 11 + 2), то чтобы \( 101x \) делилось на 11, \( x \) само должно делиться на 11.

Итак, мы имеем два условия для двузначного числа \( x \):

1. \( x \) делится на 7.
2. \( x \) делится на 11.

Так как 7 и 11 — взаимно простые числа, то \( x \) должно делиться на их произведение, то есть на \( 7 \times 11 = 77 \).

Двузначные числа, которые делятся на 77, это: \( 77 \times 1 = 77 \).

Проверим это число:

• Задуманное число: 77. Оно делится на 7.
• Приписываем 77 справа: 7777.
• Проверяем делимость 7777 на 11: \( 7777 ÷ 11 = 707 \). Число делится на 11.

Таким образом, задуманное число — 77.

Ответ: 77