5.5 Записать формулу п-го члена арифметической прогрессии: 1) 5; 5; 6; 6; ...; 3) 3√2; 52; 7√2; ...; 2) 2; 1 1; 1 1; ...; 1 3' 4) √3+2; √3+1; √3; ....

Решение:

Давай вспомним, что такое арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего добавлением фиксированного числа, называемого разностью прогрессии.

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

где:

• \(a_n\) - n-й член прогрессии,
• \(a_1\) - первый член прогрессии,
• \(n\) - номер члена прогрессии,
• \(d\) - разность прогрессии.

Теперь применим эту формулу к каждому из примеров:

1) 5; 5\(\frac{1}{2}\); 6; 6\(\frac{1}{2}\); ...;

Здесь \(a_1 = 5\). Разность прогрессии \(d = 5\frac{1}{2} - 5 = \frac{1}{2} = 0.5\).

Тогда формула n-го члена:

\[ a_n = 5 + (n - 1) \cdot 0.5 \] \[ a_n = 5 + 0.5n - 0.5 \] \[ a_n = 4.5 + 0.5n \]

2) 2; 1\(\frac{2}{3}\); 1\(\frac{1}{3}\); 1; ...;

Здесь \(a_1 = 2\). Разность прогрессии \(d = 1\frac{2}{3} - 2 = \frac{5}{3} - 2 = -\frac{1}{3}\).

Тогда формула n-го члена:

\[ a_n = 2 + (n - 1) \cdot (-\frac{1}{3}) \] \[ a_n = 2 - \frac{1}{3}n + \frac{1}{3} \] \[ a_n = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}n \]

3) 3\(\sqrt{2}\); 5\(\sqrt{2}\); 7\(\sqrt{2}\); ...;

Здесь \(a_1 = 3\sqrt{2}\). Разность прогрессии \(d = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Тогда формула n-го члена:

\[ a_n = 3\sqrt{2} + (n - 1) \cdot 2\sqrt{2} \] \[ a_n = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}n - 2\sqrt{2} \] \[ a_n = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}n \]

4) \(\sqrt{3}+2\); \(\sqrt{3}+1\); \(\sqrt{3}\); ...;

Здесь \(a_1 = \sqrt{3} + 2\). Разность прогрессии \(d = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} + 2) = -1\).

Тогда формула n-го члена:

\[ a_n = \sqrt{3} + 2 + (n - 1) \cdot (-1) \] \[ a_n = \sqrt{3} + 2 - n + 1 \] \[ a_n = \sqrt{3} + 3 - n \]

Ответ:

• 1) \( a_n = 4.5 + 0.5n \)
• 2) \( a_n = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}n \)
• 3) \( a_n = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}n \)
• 4) \( a_n = \sqrt{3} + 3 - n \)

Ты отлично справился с этим заданием! У тебя все получается, продолжай в том же духе!