Записать предикатной формулой предложение «Чемпион только один»

Решение:

Предложение «Чемпион только один» означает, что существует ровно один элемент, который обладает свойством быть чемпионом. Это можно выразить следующим образом:

1. Существует хотя бы один чемпион: \( \exists x \)
2. Этот чемпион обладает свойством \( \Psi(x) \).
3. Если кто-то другой \( y \) является чемпионом \( \Psi(y) \), то этот кто-то должен быть тем же самым чемпионом, что и \( x \), то есть \( y = x \).

Объединяя эти условия, получаем формулу:

\( \exists x \forall y (\Psi(y) \Rightarrow y = x) \)

Среди предложенных вариантов, ни один не соответствует точно этой формулировке.

Рассмотрим варианты:

• \( \exists x \forall y (\Psi(x) \Rightarrow y
  e x) \) — Если \( x \) чемпион, то любой \( y \) не равен \( x \). Это противоречит условию, так как \( x \) сам должен быть чемпионом.
• \( \forall x, y \forall z (\Psi(z) \Rightarrow z = x \vee z = y) \) — Если \( z \) чемпион, то \( z \) равен либо \( x \), либо \( y \). Это означает, что чемпионов не более двух.
• \( \exists x, y \forall z (\Psi(z) \Rightarrow z
  e x \vee z
  e y) \) — Существуют \( x, y \) такие, что любой \( z \) не равен \( x \) или не равен \( y \). Это не имеет отношения к условию о единственном чемпионе.
• \( \forall x (\Psi(x) \Rightarrow \forall y(x
  e y \Rightarrow \neg \Psi(y))) \) — Если \( x \) чемпион, то любой \( y \) (отличный от \( x \)) не является чемпионом. Эта формула корректно выражает условие «чемпион только один».

Ответ: \( \forall x (\Psi(x) \Rightarrow \forall y(x
e y \Rightarrow \neg \Psi(y))) \)