Запиши ответы Найди значение выражения: a) (3^2)^6 * (3^-4)^3 / 9^2 = б) 16^-4 * 4^3 : 2^-7 = в) (1/3)^-3 * 81^-4 * (1/27)^-5 = г) (0,04^-3)^-2 * 125^-1 * (25^-3)^-2 =

Задание а

Для начала упростим выражение, используя свойства степеней:

• \( (3^2)^6 = 3^{2 \times 6} = 3^{12} \)
• \( (3^{-4})^3 = 3^{-4 \times 3} = 3^{-12} \)
• \( 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \times 2} = 3^4 \)

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

\[ \frac{3^{12} \times 3^{-12}}{3^4} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ \frac{3^{12 + (-12)}}{3^4} = \frac{3^0}{3^4} \]

Любое число в нулевой степени равно 1:

\[ \frac{1}{3^4} \]

Рассчитаем значение знаменателя:

\[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]

Таким образом, получаем:

\[ \frac{1}{81} \]

Ответ: \( \frac{1}{81} \)

Задание б

Сначала представим все числа в виде степени двойки:

• \( 16 = 2^4 \)
• \( 4 = 2^2 \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ (2^4)^{-4} \times (2^2)^3 : 2^{-7} \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):

\[ 2^{4 \times (-4)} \times 2^{2 \times 3} : 2^{-7} = 2^{-16} \times 2^{6} : 2^{-7} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ 2^{-16 + 6} : 2^{-7} = 2^{-10} : 2^{-7} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ 2^{-10 - (-7)} = 2^{-10 + 7} = 2^{-3} \]

Переведем отрицательную степень в дробь:

\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]

Ответ: \( \frac{1}{8} \)

Задание в

Представим все числа в виде степени тройки:

• \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \)
• \( 81 = 3^4 \)
• \( \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ (3^{-1})^{-3} \times (3^4)^{-4} \times (3^{-3})^{-5} \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):

\[ 3^{(-1) \times (-3)} \times 3^{4 \times (-4)} \times 3^{(-3) \times (-5)} = 3^3 \times 3^{-16} \times 3^{15} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ 3^{3 + (-16) + 15} = 3^{3 - 16 + 15} = 3^2 \]

Рассчитаем значение:

\[ 3^2 = 9 \]

Ответ: 9

Задание г

Сначала переведем десятичные дроби в обыкновенные и представим все числа в виде степени пятерки:

• \( 0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = (5^2)^{-1} = 5^{-2} \)
• \( 125 = 5^3 \)
• \( 25 = 5^2 \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ (5^{-2})^{-3 \times (-2)} \times (5^3)^{-1} \times (5^2)^{-3 \times (-2)} \]

Сначала упростим показатели степеней:

\[ (-3) \times (-2) = 6 \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ (5^{-2})^6 \times (5^3)^{-1} \times (5^2)^6 \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):

\[ 5^{-2 \times 6} \times 5^{3 \times (-1)} \times 5^{2 \times 6} = 5^{-12} \times 5^{-3} \times 5^{12} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ 5^{-12 + (-3) + 12} = 5^{-12 - 3 + 12} = 5^{-3} \]

Переведем отрицательную степень в дробь:

\[ 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \]

Ответ: \( \frac{1}{125} \)