Запиши значение выражения \(\sqrt{55-14\sqrt{6}+\sqrt{6}}\). (Заполни пропуски в решении, запиши ответ.)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Шаг 1: Преобразуем выражение под корнем. Наша цель — представить \( 55 - 14\sqrt{6} \) как \( a^2 - 2ab \).

Заметим, что \( 14\sqrt{6} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{6} \). Если \( 7 \) — это \( a \), то \( a^2 = 49 \). Если \( \sqrt{6} \) — это \( b \), то \( b^2 = 6 \).

Теперь попробуем представить \( 55 \) как сумму \( a^2 + b^2 \), то есть \( 49 + 6 \). Это действительно равно \( 55 \).

Таким образом, \( 55 - 14\sqrt{6} = 49 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{6} + 6 = (7)^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = (7-\sqrt{6})^2 \).

Шаг 2: Подставляем полученное выражение обратно в корень и добавляем \( +\sqrt{6} \).

\( \sqrt{(7-\sqrt{6})^2} + \sqrt{6} \)

Так как \( 7 > \sqrt{6} \), то \( \sqrt{(7-\sqrt{6})^2} = 7-\sqrt{6} \).

Шаг 3: Собираем подобные члены.

\( (7-\sqrt{6}) + \sqrt{6} = 7 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 7 \).

Заполнение пропусков:

• \( \sqrt{55-2\cdot 7\cdot \sqrt{6}+6} + \sqrt{6} \)
• \( \sqrt{(7)^2 - 2\cdot 7\cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2} + \sqrt{6} \)
• \( \sqrt{(7-\sqrt{6})^2} + \sqrt{6} \)
• \( 7-\sqrt{6} + \sqrt{6} \)

Ответ: 7