Запишите обоснованное решение задач 3-5. 3°. Луч ЅС является биссектрисой угла ASB, а от- резки SA и SB равны. Докажите, что ASAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хор- ды равны. 5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите RDS, если RS = PS, DP = DR, ZRDP = = 100°.

3°. Луч SC является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что △SAC = △SBC.

Доказательство:

1. SC - биссектриса угла ASB (по условию), следовательно, ∠ASC = ∠BSC.
2. SA = SB (по условию).
3. SC - общая сторона для треугольников SAC и SBC.

Следовательно, △SAC = △SBC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хорды равны.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники DOE и POK.
2. OD = OE = OP = OK как радиусы окружности.
3. ∠DOE = ∠POK (по условию).

Следовательно, △DOE = △POK по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), а значит, DE = PK как соответствующие стороны равных треугольников.

5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠RDP = 100°.

Решение:

1. Так как RS = PS, треугольник PRS - равнобедренный с основанием PR.
2. Так как DP = DR, треугольник DPR - равнобедренный с основанием PR.
3. ∠RDP = 100°, значит, углы при основании PR в треугольнике DPR равны:

$$∠DRP = ∠DPR = \frac{180° - 100°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$$

4. Так как RS = PS, то углы при основании PR в треугольнике PRS равны: ∠SRP = ∠SPR.
5. Пусть ∠SRP = x. Тогда ∠RPS = 180° - 2x.
6. Рассмотрим четырехугольник RDPS. Сумма углов четырехугольника равна 360°:

$$∠PRS + ∠RPS + ∠PSD + ∠DRP = 360°$$

$$x + x + 100° + 40° + 40° = 360°$$

$$2x + ∠PSD = 360° - 180°$$

$$2x = 180° - ∠PSD$$

Рассмотрим треугольник DPS. Так как DP = DR , то DR =DP, треугольник DR =DP равнобедренный и углы при основании равны, \( \angle DPR = \angle DR =DP = 40^\circ \), далее рассмотрим треугольник DPS, \( \angle DPS = \angle D =PSR = x \). Следовательно углы D =PSR = \( 40^\circ \) и \( \angle DPS = \angle D =PSR = 40^\circ \). Так как треугольник DPS является равнобедренным, значит \( \angle PSD = 100^\circ \). По закону суммы углов треугольника \( 180^\circ \) и \( \angle DSP = 180 - 40 - 40 = 100^\circ \). \( 2x = 80^\circ \), следовательно \( x= 40^\circ \).

Значит \( \angle SRP = 40^\circ \).

7. Угол RDS можно найти как разность углов PRS и DRP:

$$∠RDS = ∠PRS - ∠DRP = 40° - 40° = 0°$$

Ответ: ∠RDS = 0°