Запишите обоснованное решение задач 3-5. 3. Луч ЅС является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что A SAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хорды равны. 5*. Точка Д лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, LADP = 100°.

3. Луч SC является биссектрисой угла ASB, отрезки SA и SB равны. Доказать, что △SAC = △SBC.

Доказательство:

1. SC - биссектриса угла ASB, следовательно, ∠ASC = ∠BSC.


2. SA = SB (по условию).


3. SC - общая сторона.


4. Следовательно, △SAC = △SBC (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

4. В окружности с центром O проведены хорды DE и PK, причем ∠DOE = ∠POK. Доказать, что эти хорды равны.

Доказательство:

1. ∠DOE = ∠POK (по условию).


2. OD = OE = OP = OK (как радиусы окружности).


3. Следовательно, △DOE = △POK (по первому признаку равенства треугольников).


4. Значит, DE = PK (как соответственные стороны равных треугольников).

5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найти ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠ADP = 100°.

Решение:

1. Т.к. RS = PS, то треугольник PRS - равнобедренный, следовательно, углы ∠R и ∠P равны.


2. Т.к. DP = DR, то треугольник DPR - равнобедренный, следовательно, углы ∠P и ∠R равны.


3. ∠ADP = 100°.


4. ∠ADR = ∠ADP = 100°, то ∠PDR = 180° - 100° = 80°.


5. ∠DRP = (180° - 80°)/2 = 50°.


6. ∠PRS = ∠DRP = 50°.


7. ∠RDS = ∠PRS - ∠DRP = 50°.

Ответ: ∠RDS = 50°.