Запишите обоснованное решение задачи 6 6. В прямоугольном треугольнике BCD из точки М гипотенузы ВС проведен перпендикуляр МН к стороне BD. Найдите длину отрезка МН, если BC=24, MC=9, CD=16.

Решение:

Дано: \( \triangle BCD \) — прямоугольный (\( \angle D = 90° \)). \( BC = 24 \) см, \( MC = 9 \) см, \( CD = 16 \) см. \( M \) — точка на \( BC \). \( MH \) — перпендикуляр к \( BD \) (\( MH \perp BD \)). Найти \( MH \).

1. Найдем длину отрезка \( BM \). Так как \( M \) лежит на \( BC \) и \( BC = BM + MC \), то \( BM = BC - MC = 24 - 9 = 15 \) см.

2. Найдем длину стороны \( BD \) в прямоугольном треугольнике \( BCD \) по теореме Пифагора:

\( BD^2 + CD^2 = BC^2 \)

\( BD^2 + 16^2 = 24^2 \)

\( BD^2 + 256 = 576 \)

\( BD^2 = 576 - 256 \)

\( BD^2 = 320 \)

\( BD = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5} \) см.

3. Рассмотрим треугольники \( BHM \) и \( BCD \). Оба треугольника прямоугольные (\( \angle BHD = 90° \) и \( \angle BDC = 90° \)). У них есть общий угол \( \angle B \).

Следовательно, треугольники \( BHM \) и \( BCD \) подобны по двум углам (по двум углам и общей вершине \( B \)).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\( \frac{MH}{CD} = \frac{BM}{BC} = \frac{BH}{BD} \)

Мы можем использовать отношение:

\( \frac{MH}{CD} = \frac{BM}{BC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{MH}{16} = \frac{15}{24} \)

4. Найдем \( MH \):

\( MH = 16 \cdot \frac{15}{24} \)

Сократим дробь \( \frac{15}{24} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac{5}{8} \).

\( MH = 16 \cdot \frac{5}{8} \)

\( MH = 2 \cdot 5 \)

\( MH = 10 \) см.

Ответ: 10 см