Запишите ответ к заданиям 3 и 4.

Решение:

3°.

Дано: Окружность, радиус \( R = 7.5 \text{ см} \), диаметр \( AC \), хорда \( AK = 9 \text{ см} \).

Найти: Длину хорды \( CK \).

Решение:

1. Так как \( AC \) — диаметр, то угол \( ∠ AKC \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, \( ∠ AKC = 90^​. \)
2. \( △ AKC \) — прямоугольный треугольник с гипотенузой \( AC \).
3. Длина гипотенузы \( AC = 2 · R = 2 · 7.5 = 15 \text{ см} \).
4. По теореме Пифагора в \( △ AKC \): \( AC^2 = AK^2 + CK^2 \).
5. Подставляем известные значения: \( 15^2 = 9^2 + CK^2 \).
6. \( 225 = 81 + CK^2 \).
7. \( CK^2 = 225 - 81 = 144 \).
8. \( CK = √ 144 = 12 \text{ см} \).

Ответ: 12 см.

4°.

Дано: Две хорды, пересекаются в точке \( P \). Одна хорда разделена на отрезки \( 2 \text{ см} \) и \( 16 \text{ см} \). Другая хорда разделена на отрезки \( x \) и \( 2x \) (один в 2 раза больше другого).

Найти: Длину второй хорды.

Решение:

1. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. Пусть первая хорда имеет отрезки \( a = 2 \text{ см} \) и \( b = 16 \text{ см} \).
3. Пусть вторая хорда имеет отрезки \( c = x \) и \( d = 2x \).
4. По теореме: \( a · b = c · d \).
5. Подставляем значения: \( 2 · 16 = x · 2x \).
6. \( 32 = 2x^2 \).
7. \( x^2 = 16 \).
8. \( x = √ 16 = 4 \text{ см} \) (длина отрезка не может быть отрицательной).
9. Отрезки второй хорды равны \( x = 4 \text{ см} \) и \( 2x = 2 · 4 = 8 \text{ см} \).
10. Длина второй хорды равна сумме её отрезков: \( 4 + 8 = 12 \text{ см} \).

Ответ: 12 см.