Запишите уравнение касательной плоскости, когда функция задается явно z = f(x, y) Запишите уравнение нормали, когда функция задается явно z = f(x, y) 21.1 Образец решения примера. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности x² +3y² -5 + z = 0 в точке Мо (хо, Уо, z0), если х = 2, y = 1. Решение: Подставим хо и у, в уравнение поверхности и найдем значение zo:

Решение примера:

Давай разберем по порядку, как составить уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности.

1. Находим значение z₀:

   Подставим значения x₀ = 2 и y₀ = 1 в уравнение поверхности:

   \[ (2)^2 + 3(1)^2 - 5 + z = 0 \]

   \[ 4 + 3 - 5 + z = 0 \]

   \[ 2 + z = 0 \]

   \[ z = -2 \]

   Таким образом, z₀ = -2. Итак, точка M₀ имеет координаты (2, 1, -2).

2. Вычисляем частные производные:

   Находим частные производные функции F(x, y, z) = x² + 3y² - 5 + z:

   \[ F'_x = 2x \]

   \[ F'_y = 6y \]

   \[ F'_z = 1 \]

3. Вычисляем значения частных производных в точке M₀:

   Подставляем координаты точки M₀ (2, 1, -2) в частные производные:

   \[ F'_x(2, 1, -2) = 2(2) = 4 \]

   \[ F'_y(2, 1, -2) = 6(1) = 6 \]

   \[ F'_z(2, 1, -2) = 1 \]

4. Записываем уравнение касательной плоскости:

   Уравнение касательной плоскости имеет вид:

   \[ F'_x(x - x_0) + F'_y(y - y_0) + F'_z(z - z_0) = 0 \]

   Подставляем значения:

   \[ 4(x - 2) + 6(y - 1) + 1(z + 2) = 0 \]

   \[ 4x - 8 + 6y - 6 + z + 2 = 0 \]

   \[ 4x + 6y + z - 12 = 0 \]

5. Записываем уравнение нормали:

   Уравнение нормали имеет вид:

   \[ \frac{x - x_0}{F'_x} = \frac{y - y_0}{F'_y} = \frac{z - z_0}{F'_z} \]

   Подставляем значения:

   \[ \frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{6} = \frac{z + 2}{1} \]

Ответ: Уравнение касательной плоскости: 4x + 6y + z - 12 = 0. Уравнение нормали: \(\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{6} = \frac{z + 2}{1}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!